5.Аксиоматическое построение математики в «Началах» Евклида. Аксиоматический метод в современной математике.

Критическую оценку аксиоматической формы изложения математики разделяет другой крупнейший российский математик — СП. Новиков. Но даже эти авторитетные мнения ведущих современных ученых не в со­стоянии поколебать многовековой традиции, в соответствии с которой именно дедуктивное доказательство рассматривается как специфическая особенность математики, выделяющая ее среди других областей знания.

В становлении аксиоматического метода В.Н. Молодший выделяет три основных периода: 1) период содержательной аксиоматизации; 2) период полуформальной аксиоматизации; 3) период формальной аксиоматизации. Принципы содержательной аксиоматики господствовали до середины XIX в. Полуформальный аксиоматический метод получил распростране­ние в последней четверти XIX в. Датой рождения формализованного акси­оматического метода принято считать 1904 г., когда Д. Гильберт выдвинул основные принципы формализации математики.

Наиболее совершенное для своего времени содержательно-аксиома­тическое построение геометрии как основы и методологии всей матема­тики разработал Евклид в «Началах».

Фундамент «Начал» составляют определения, постулаты и аксиомы. Постулаты Евклида представляют собой требования возможности осу­ществления построений с идеальными геометрическими объектами. Вот их формулировка: «Допустим:

Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжить по прямой. И что из всякого центра и всяким раствором < может быть> описан круг. И что все прямые углы равны между собой. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по од­ ну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Аксиомы (дословно — «общие мысли») содержат описания свойств любых величин и формулируются следующим образом:

Равные одному и тому же равны и между собой.

И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

И удвоенные одного и того же равны между собой.И половины одного и того же равны между собой. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.И целое больше части. И две прямые не содержат пространства». Вместе с формальной логикой аксиомы представляют логический компонент теории доказательства «Начал».

В полуформальной аксиоматизации математической теории ее объ­екты не получают непосредственных определений. Их заменяют аксио­мы, описывающие отношения и связи между основными объектами. Как и в случае содержательной аксиоматизации, при доказательствах те­орем используются средства традиционной логики.

При полуформальной аксиоматизации математической теории ее ак­сиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой, описанной в аксиомах, структурой отношений и связей между объектами. Каждую такую область называют моделью или интер­претацией аксиоматизированной теории.

Зарождение аксиоматического метода как самостоятельной теории датируется 1899 г. — временем выхода классических «Оснований геоме­трии» Д. Гильберта, где этот метод на примере геометрии получил, по су­ществу, исчерпывающую разработку.

Формальные аксиоматики разработаны для теорий, относящихся преимущественно к фундаменту теоретической математики. Они есте­ственным образом получаются из полуформальных аксиоматик при по­мощи формализации традиционной логики, содержательным образом используемой в первых двух видах аксиоматик