9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой

Пусть в ограниченной замкнутой односвязной области D задана векторная функция (векторное поле) , непрерывно дифференцируемая в D.

Тогда равносильны следующие утверждения.

1. Выражение представляет собой полный дифференциал dU некоторой однозначной функции U(M) = U(x; y; z), определённой в области D:

2. В любой точке M(x,y,z) D выполняются соотношения

, , .

Если область D плоская и , то .

3. Интеграл , взятый по любому замкнутому контуру L D равен нулю: .

4. Интеграл не зависит от формы дуги ВС кривой, лежащей в области D.

9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода

1. Пусть – сила, совершающая работу А вдоль пути l, и функции и непрерывны на кривой l, тогда

.

Для пространственной кривой L работа A при перемещении материальной точки M по дуге BC из точки B в точку C под действием силы вычисляется по формуле:

2. Площадь правильной области D, ограниченной контуром L, вычисляется по формуле:

Пример. Найти работу, производимую силой , вдоль параболы от точки А(0; 0) до точки В(1; 1).

. Так как интегрируем по параболе и При перемещении из точки А в точку В меняется от 0 до 1 (рис.9.3). Так как интегрируем по параболе то :

Рис.9.3

Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

в направлении от точки O(0; 0) к точке C(2; 0) вдоль различных кривых, соединяющих эти точки:

1. окружности:

2. прямой: y = 0;

3. параболы:

1. На окружности имеем:

Точке O(0; 0) соответствует значение параметра , точке C(2; 0) соответствует значение параметра .

2. На прямой имеем

3. На параболе имеем:

По условию задачи

Для любых (x; y) имеем: Следовательно, справедливо равносильное утверждение: интеграл J не зависит от формы дуги OC кривой.

Пример. Найти работу силового поля

при перемещении материальной точки по дуге BC окружности

в направлении, соответствующем убыванию параметра t:

На дуге окружности имеем:

Задачи для самостоятельного решения

№	Задание
1		Изменить порядок интегрирования .
2		Найти площадь области, ограниченной кривыми , .
3		Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями , , , .
4		Вычислить криволинейный интеграл по дуге астроиды: , .
5		Вычислить криволинейный интеграл по отрезку BC прямой, если B(–1; 0), С(0; 1).
6		Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды , , .
7		Найти массу первого витка винтовой линии , , , если плотность в каждой точке кривой численно равна радиус-вектору этой точки.
8		Определить центр тяжести однородной дуги астроиды , , лежащей в первой четверти.
9		Вычислить криволинейный интеграл где l – отрезок прямой OA, соединяющий точки O(0,0) и A(2,2).
10		Вычислить криволинейный интеграл где l – парабола , соединяющая точки O(0,0) и A(2,2).
11		Вычислить криволинейный интеграл где l – парабола , соединяющая точки O(0,0) и A(2,2).
12		Вычислить криволинейный интеграл от точки A(1,0) до точки B(0,2) по прямой .
13		Вычислить криволинейный интеграл от точки A(1; 0) до точки B(0; 2) по дуге эллипса ,
14		3. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:
15		Найти работу при движении материальной точки по окружности в о трицательном направлении под действием силы .