- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
12.1 Оригиналы и изображения
Определение. Функция , определенная на интервале , называется оригиналом, если
1) при ;
2) – непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода на любом конечном отрезке;
3) существуют такие вещественные числа М > 0 и 0, что для всех положительных значений t.
Для всякого оригинала f(t) существует единственная функция комплексной переменной p = s + i, определенная в комплексной полуплоскости Rep = s > (рис. 12.1). Функция называется изображением оригинала f(t). Правая часть равенства называется интегралом Лапласа, а переход от оригинала f(x) к изображению F(p) – преобразованием Лапласа. Запись f(t) F(p) означает, что оригиналу f(t) соответствует изображение F(p) и наоборот.
Рис. 12.1
Простейшим оригиналом является функция Хэвисайда – единичная ступенчатая функция (рис. 12.2):
Рис. 12.2
Изображение функции Хэвисайда:
.
Функция Хэвисайда используется для представления сигналов, включающихся в определённый момент времени. Если (t) удовлетворяет условиям 2 и 3, то функция f(t) = (t)1(t) является оригиналом. Далее вместо произведения (t)1(t) используется запись f(t), где f(t) 0 при t < 0.
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = еаt, аR.
F(p) =
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sh(ωt), R.
По определению . Тогда
.
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sin(ωt), R.
Применяя формулу Эйлера , получаем , и выражаем . Тогда
.
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = t.
При вычислении изображения F(p) применим формулу интегрирования по частям: .
12.2 Теоремы операционного исчисления
1. Теорема линейности.
Если f1(t) F1(p), f2(t) F2(p), то
с1f1(t) + с2f2(t) с1F1(p) + с2F2(p),
где с1, с2 – постоянные.
2. Теорема подобия.
Если f(t) F(p), то f(t) при ,
3. Теорема смещения.
Если f(t) F(p), то F(p + ).
4. Теорема запаздывания.
Если f(t) F(p) то f(t – ) e–pF(p) при > 0 (рис. 12.3, 12.4).
-
Рис. 12.3
Рис. 12.4
Пример. Найти изображение единичного импульса (рис. 12.5)
Единичный импульс с помощью функции Хевисайда можно представить (рис. 12.2, 12.6) в виде разности f(t) = .
Рис. 12.5 |
Рис. 12.6 |
Учитывая 1(t) , по теореме запаздывания запишем 1(t – 1) . Теперь .
5. Теорема дифференцирования оригиналов.
Если f(t) F(p), то .
Доказательство.
.
Следствие. Если – п-раз дифференцируемая функция, все производные которой являются оригиналами, то для производной k-го порядка, , справедлива формула:
.
При нулевых начальных условиях последняя формула принимает вид .
6. Теорема интегрирования оригиналов.
Если f(t) F(p), то .
Доказательство. Пусть – оригинал, которому соответствует изображение G(p). Учитывая, что и , по теореме дифференцирования оригиналов получаем pG( p) = F(p). Следовательно, или .
7. Теорема дифференцирования изображений.
Если f(t) F(p), то – .
Следствие. .
8. Теорема интегрирования изображений.
Если f(t) F(p) и сходится, то .