13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии

1) (С – const).

2) .

3) .

4) , если X и Y независимы (случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие значения приняла другая).

5)

6)

7)

8) если X и Y независимы.

9) DХ = М(Х²) – (МХ)².

13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин

Биномиальное распределение. Случайная дискретная величина Х подчинена биномиальному распределению (закону Бернулли), если она принимает целые значения от 0 до n, вероятности которых вычисляются по формуле Бернулли

Р(Х = m) = .

Математическое ожидание биномиального распределения МХ = np, дисперия DХ = npq.

Распределение Пуассона. Случайная дискретная величина Х подчинена распределению Пуассона с параметром , если она принимает целые неотрицательные значения, вероятности которых вычисляются по формуле

Р(Х = m) = .

Математическое ожидание и дисперия в этом случае МХ = DХ = .

Равномерное распределение. Случайная непрерывная величина Х подчинена равномерному закону, если ее плотность распределения имеет вид

f(х) =

На рисунке 13.5 изображен график функции f(х).

Рис. 13.7

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по равномерному закону, в интервал (х₁; х₂) вычисляется по формуле

Р(х₁ < Х < х₂) = ; а  х₁ < x₂  b.

Математическое ожидание равномерного распределения МХ =  , дисперия DХ = .

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х подчинена показательному закону с параметром , если ее плотность распределения имеет вид

f(х) =

На рисунке 13.6 изображен график функции f(х).

Рис. 13.8

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по показательному закону, в интервал (х₁; х₂) вычисляется по формуле

Р(х₁ < Х < х₂) = .

Математическое ожидание показательного распределения МХ = , дисперия DХ = .

Нормальное распределение N(а; ). Непрерывная случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения (закону Гаусса) с параметрами a и , если ее плотность распределения имеет вид

f(х) = .

Математическое ожидание случайной величины с нормальным распределением МХ = а. Дисперсия нормально распределенной случайной величины DХ = ². Функция распределения вычисляется по формуле

F(х) = .

На рисунках 13.7а и 13.7б изображены графики функций f(х) и F(х).

Рис. 13.9а

Рис. 13.9б

В приложении приведены значения функции Лапласа , которая дает возможность найти величину функции нормального распределения по формуле

.

Для вычисления величины функции F(x) нужны значения только для положительных аргументов, так как функция Лапласа является нечетной и .

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону N(а; ), в интервал (х₁; х₂) вычисляется по формуле

Р(х₁ < Х < х₂) = .

Для нормального распределения верна формула

.

Для нормально распределенной случайной величины практически достоверно можно утверждать, что все ее значения попадают (правило «трех сигм») в интервал , т.к. вероятность

= 0,9973.

Пример. В мишень стреляют четыре раза. Вероятность поражения при одном выстреле 0,8. Составить закон распределения числа попаданий, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Число попаданий в мишень – дискретная случайная величина, распределенная по закону Бернулли с параметрами р = 0,8; q = 0,2; n = 4.

.

.

.

.

.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

МХ = np = 0,8  4 = 3,2; DХ = прq = 4  0,8  0,2 = 0,64; .

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N(1, 4). Определить величину дисперсии DX.

 = 4, DX = = 4² = 16.

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

P(10 < X <50) = F(50) – F(10) =   =

= Ф₀(2) – Ф₀(–2) = 2Ф₀(2) = 20,4772 = 0,9544.

Замечание. В таблице, приведенной в приложении, приведено значение функции Ф₀(2) = 0,4772.

Пример. Случайная величина Х равномерно распределена (рис. 13.8) в интервале [–1, 4]. Найти значение параметра а.

Площадь S под графиком плотности распределения вероятности равна единице. S = (4 – (–1))а = 1  а = .

Рис. 13.10