12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики

Дифференциальным называется уравнение связывающее аргумент t, искомую функцию y(t) и её производные

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение. Начальные условия для дифференциального уравнения имеет вид

y(t₀) = y₀, y'(t₀) = y₁, … , y^(n–1)(t₀) = y_n-1,

где t₀, y₀, y₁, … , y_n-1 – заданные числа.

Решением уравнения называется любая функция y(t) = (t), обращающая уравнение в тождество. Общим решением уравнения называется n-параметрическое семейство функций y = y(t, С₁, С₂,…, С_n), зависящих от n произвольных постоянных С_i, обращающих уравнение в тождество и таких, что по заданным начальным условиям можно однозначно определить значения С₁, С₂,…, С_n, при которых эти условия выполняются. Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾(t)+g₁(t)∙y^(n–1)(t)+g₂(t)∙y^(n–2)(t)+…+g_n–1(t)∙y (t)+g_n(t)∙y(t) = f(t),

где g₁(t), g₂(t), …, g_n(t), f(t) –заданные функции.

Если коэффициенты уравнения g_i(t) – постоянные величины а_i, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом.

Операционный метод решения уравнения рассмотрим на примере решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

y'' + a₁y' + a₂y = f(t),

при начальных условиях

y(0) = y₀, y'(0) = y₁.

Полагая, что решение уравнения y(t), удовлетворяющее начальным условиям есть оригинал, имеющий изображение Y(p) → y(t), и используя теорему дифференцирования оригиналов, запишем изображения производных

y'(t)  pY(p) – y₀, y''(t)  p²Y(p) – py₀ – y₁,

и исходного дифференциального уравнения

p²Y(p) – py₀ – y₁ + a₁(pY(p) – y₀) + a₂ Y(p) = F(p),

где F(p) – изображение функции f(t).

Полученное уравнение есть алгебраическое уравнение относительно изображения Y(p). Оригинал этой функции y(t)  Y(p) есть решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти решение уравнения y'' + 2y' – 8y = e^t, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y'(0) =0.

Пусть y(t) – искомое решение, Y(p) – изображение y(t). Тогда

y'(t)  pY(p) – y₀ = pY(p), y''(t)  p²Y(p) – py₀ – y₁ = p²Y(p).

Изображение функции в правой части уравнения находится по таблице 1: e^t ← . Изображение исходного дифференциального уравнения и его решение имеют вид:

p²Y(p) – 2pY(p) – 8Y(p) = ,

откуда

Полученную правильную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей

Решение дифференциального уравнения y(t)  Y(p):

.

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

, тогда , .

По таблице 12.1 находим . Уравнение в изображениях примет вид

Отсюда находим

Используя таблицу 12.1, окончательно получим решение задачи Коши .

Пример. Составить уравнение, описывающее процессы в RC-контуре (рис. 12.10), где R – сопротивление, С – конденсатор, U_С – напряжение на конденсаторе, i – ток в контуре. Найти напряжение U_вых на выходе контура, при нулевых начальных условиях U_вх(0) = 0, U_вых(0) = 0 и постоянном напряжение U₀ на входе контура при t > 0.

Рис. 12.10

По второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна сумме ЭДС

U_R + U_C = U_вх.

U_R = iR, i = C , U_С = U_вых, следовательно, = U_вх.

Обозначая RC = T и учитывая, что U_вых(t) = U_C, ← pU_вых(p), запишем уравнение, связывающее напряжение на выходе и входе RC-контура:

U_вых(p) (Tp + 1) = U_вх(p)

По условию U_вх ← U_вх(p) =  , следовательно, U_вых(p) =  . Последнее выражение можно записать в виде

.

Тогда оригинал U_вых(t) = U₀ (1 – ). График выходного напряжения представлен на рисунке 12.11.

Рис. 12.11