11.3 Понижение порядка уравнения

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной (дифференциала), входящей в уравнение. Множество решений дифференциального уравнения n-го порядка обычно удается объединить единой формулой , включающей n произвольных постоянных. Такое семейство функций называется общим решением. В таблице 11.1 приведены основные виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка:

Таблица 11.1

№	Дифференциальное уравнение	Замена
1
2		,
3		,

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

;   

 .

Пример. Найти общее решение уравнения .

,   или .

  

     .

– общий интеграл уравнения (решения уравнения или в нём содержатся при С₁ = 0).

11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное однородное уравнение второго порядка:

у + ру¢ + qу = 0, (р, qR).

Общее решение у_о.о = (х, С₁, С₂) этого уравнения определяется корнями ₁, ₂ характеристического уравнения ² + р + q = 0.

1) ₁  ₂; ₁, ₂R  у_о.о. = ;

2) ₁ = ₂ = R  у_о.о. = С₁е^х + С₂хе^х;

3) _1,2 =   i, (, R)  у_о.о. = e^αx(С₁cosx + С₂sinx).

Замечание. Общее решение у_о.о = (х, С₁, С₂, …, С_n) линейного однородного уравнения n-ого порядка y⁽ⁿ⁾ + р _n–1y^(n–1) + … +р₁у¢+ qу = 0, определяется корнями ₁, ₂ , _n характеристического уравнения ⁿ + р _n–1^n-1 + … + р + q = 0.

Линейное неоднородное уравнение: у + ру¢+ qу = f(х).

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения у_ч.н неоднородного уравнения:

у_о.н = у_о.о + у_ч.н.

Для некоторых функций f(х) вид частного решения у_ч.н., содержащего неопределённые (буквенные) коэффициенты, может быть установлен без решения дифференциального уравнения (табл. 11.2). Число r – количество совпадений величины  = a + ib с корнями характеристического уравнения (с учетом их кратности).

Таблица 11.2

№	Правая часть уравнения f(х)		Вид частного решения уч.н
1	Аеах	а	xrMeax
2	(Ах + В)еах	а	xr (Mх + N) eax
3	(Ах2 + Вх + С)еах	а	xr (Mх2 + Nх + K) eax
4	А	0	xrM
5	Ах + В	0	xr (Mх + N)
6	Ах2 + Вх + С	0	xr (Mх2 + Nх + K)
7	Acosbх, Вsinbх, Acosbx + Bsinbx	bi	xr(Мcosbх + Nsinbх)
8	eaxАcosbх, eaxВsinbх, eax (Acosbx + Bsinbx)	a+bi	xreax(Мcosbх + Nsinbх)

Значения коэффициентов M, N, K устанавливаются подстановкой частного решения в уравнение из условия тождественного равенства левой и правой его частей.

Пример. Для дифференциального уравнения y^IV + y¢¢¢ + 4y¢ + y = 0 составить характеристическое уравнение.

l⁴ +l³+4l + 1 = 0.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения у² + 4у¢ +13у = 0.

² + 4 + 13 = 0  ₁ = –2 + 3i, ₂ = –2 – 3i (см. пункт 4.2) 

 = –2;  = 3  у_о.о = е^–2х (С₁ cos3х+ С₂ sin3х).

Пример. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда находим , . Найденные корни вещественны и различны (случай 1). Следовательно, .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда находим (случай 2). Тогда общее решение имеет вид .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда находим . Корни комплексные. , (случай 3). Общее решение имеет вид .

Пример. Написать линейное однородное дифференциальное уравнение, общим решением которого является функция .

Корни характеристического уравнения: ₁ = 0, ₂ = –4.

Характеристическое уравнение: ( – ₁) ( – ₂)=03  ² + 4 = 0.

Линейное однородное дифференциальное уравнение: у² + 4у¢ = 0.

Пример. Установить вид частного решения уравнения у² – 5у¢ = 7х +8.

Соответствующее однородное уравнение: у² – 5у¢ = 0.

Характеристическое уравнение: ² – 5 = 0  ₁ = 5, ₂ = 0;

 = 0  r = 1 (строка 5 таблицы 11.2).

Правая часть дифференциального уравнения f(x) = 7x +8 

y_ч.н = х(Mx + N).

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Однородное уравнение:

(строка 7 таблицы 11.2).

Правая часть дифференциального уравнения 

.



Пример. Найти решение уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям , .

Характеристическое уравнение имеет вид .Отсюда находим , . Тогда общее решение однородного имеет вид . Правая часть исходного уравнения является многочленом второй степени. При этом не является корнем характеристического многочлена (строка 6 таблицы 11.2). Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

.

Находим производные. , .

Подставляя в исходное уравнение, получим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, находим систему для определения

.

Отсюда , , . Тогда . Общее решение неоднородного уравнения

.

Для решения задачи Коши найдем производную

.

Удовлетворяя начальным условиям, получим систему для определения С₁ и С₂.

.

Отсюда С₁ = 3, С₂ = –1. Подставив найденные С₁ и С₂ в общее решение, окончательно получим решение задачи Коши

.

Пример. Найти решение уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям , .

Характеристическое уравнение имеет вид .Отсюда находим , . Тогда общее решение однородного имеет вид . Правая часть исходного уравнения является произведением многочлена первой степени на .При этом является корнем характеристического многочлена кратности (строка 2 таблицы 11.2). Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

.

Находим производные.

,

.

Подставляя в исходное уравнение и выполнив элементарные преобразования, получим

.

Поделив обе части уравнения на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, находим систему для определения и

.

Отсюда , . Тогда . Общее решение неоднородного уравнения

.

Найдем решение задачи Коши .

.

Удовлетворяя начальным условиям, получим систему для определения и

.

Отсюда С₁ = 0, С₂ = 1. Подставив найденные С₁ и С₂ в общее решение, окончательно получим решение задачи Коши

.