12.3 Таблица изображений

В таблице 12.1 приведены изображения часто встречающихся на практике функций.

Таблица 12.1

№	Оригинал	Изображение	№	Оригинал	Изображение
1	1(t)		9
2			10
3			11
4			12
5			13
6			14
7			15		1
8			16

Дельта-функция. -функция Дирака (рис. 12.7) задается формулами

и .

В технике -функция применяется для отображения величин, имеющих характер мгновенного импульса. Изображение (позиция 15 таблицы 1) функции Дирака, получим после предельного перехода в представлении прямоугольного импульса (рис. 12.8)

или

 =  .

Рис. 12.7

Рис. 12.8

Отметим, что при любом значении h выполняется равенство . Изображение имеет вид . При h  0 функция стремится к функции Дирака. Поэтому

12.4 Свёртка функций

Свёрткой функций и на интервале называется интеграл вида

.

Свёртка функций симметрична, т.е. .

Теорема свёртывания оригиналов. Если функции , являются оригиналами, и , то изображение их свертки есть произведение изображений , :

.

В приложениях операционного исчисления часто встречаются изображения вида . Оригинал такого произведения определяется одним из интегралов

,

которые называются интегралами Дюамеля.

Пример. Найти оригинал функции F(p)= .

Представим F(p) в виде произведения двух сомножителей

,

оригиналы которых известны . Тогда

=

12.5 Нахождение оригинала по изображению

На практике нахождение оригинала осуществляется сведением изображения к сумме изображений, оригиналы которых известны, и применением теоремы линейности преобразования Лапласа.

Пример. Найти оригинал функции F(p)= .

,

т.к.

Имеют место две теоремы разложения, позволяющие находить оригиналы весьма широкого класса функций.

Теорема 1. Если изображение представляет собой правильную рациональную дробь

,

где – многочлены степени m и n соответственно (m < n), то оригинал есть сумма оригиналов элементарных рациональных дробей:

1) ;

2) ;

3) , ( .

Для нахождения оригинала элементарной дроби четвертого типа

,

используется свёртка оригиналов.

Пример. Найти оригинал изображения .

Рациональная дробь представляется суммой двух элементарных дробей:

Приравнивая числители левой и правой частей равенства, получим . Это равенство эквивалентно системе

решение которой , . Следовательно,

.

Искомый оригинал находится по таблице 1:

Теорема 2. Если изображение функции может быть представлено рядом по степеням ,

,

сходящимся к , то оригинал представляется в виде степенного ряда

,

сходящегося при всех t.

Пример. Найти изображение ступенчатой функции, заданной на промежутке [0; +), четыре ступени которой представлены на рисунке 12.9.

Рис. 12.9

С помощью функции Хэвисайда можно составить аналитическое выражение данной функции:

По теореме запаздывания имеем Слагаемые в скобках образуют бесконечную геометрическую прогрессию с знаменателем , модуль которого Прогрессия сходится и её сумма