Основные свойства вероятности

1. Р() = 1.

2. Р() = 0.

3. .

4. , если события А и В несовместны.

5. Р(А В) = , если события А и В несовместны.

6. .

7. , если событие В всегда происходит, когда происходит А.

Если испытание моделируется выбором наудачу точки области ( – «площадь» («длина», «объем») ), то вероятность попадания случайной точки в область А (А)

пропорциональна «площади» («длине», «объему») области А и не зависит от ее расположения в .

Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло. События А и В называются независимыми, если  = Р(А) и  = Р(В).

Пример. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что число на верхней грани будет больше 4.

Элементарные исходы (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6) единственно возможны, попарно несовместны и равновозможны, следовательно, n = 6. Событие А = {число больше 4} происходит при появлении 5 или 6. Имеется два благоприятствующих событию А исхода, следовательно, m = 2.

Р(А) = = = .

Пример. В урне 3 синих, 4 красных и 5 белых шаров. Из урны наугад достают один шар. Найти вероятности событий А = {извлечен красный шар}, В = {извлечен цветной шар}, С = {извлечен белый шар}.

Общее число исходов

Число исходов m_A, благоприятствующих событию А, равно 4.

Число исходов m_В, благоприятствующих событию В, равно 3 + 4 = 7. .

Число исходов m_С, благоприятствующих событию С, равно 5. .

Замечание. Событие С противоположно событию В, следовательно, .

Пример. В квадрат со стороной 6 брошена точка. Вычислить вероятность того, что она попадает в закрашенную область. Площадь квадрата: .

Площадь треугольника: .

Вероятность .

13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей

Теорема умножения вероятностей: Р(А В) = Р(А)Р(В/А);

для независимых событий: Р(А В) = Р(А)Р(В)).

Теорема сложения вероятностей: Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В);

для несовместных событий: Р(А В) = Р(А) + Р(В);

для независимых событий: Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)).

Пример. Два стрелка независимо друг от друга выполняют по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания первого и второго стрелков равны 0,4 и 0,7 соответственно. Найти вероятность попадания в мишень.

Обозначим

А = {попадание 1-м стрелком},

В = {попадание 2-м стрелком}.

Тогда А В = {попадание в мишень}.

Применяя теорему сложения для независимых событий, получаем

Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)) = 0,4 + 0,7 – 0,4  0,7 = 0,82.

Пример. Выполняется два выстрела по мишени с вероятностями попадания 0,4 при первом выстреле и 0,7 при втором выстреле. Вероятность поражения центра мишени при попадании равна 0,6. Найти

1) вероятность попадания в мишень;

2) вероятность поражения центра мишени при первом выстреле;

3) вероятность поражения центра мишени при двух выстрелах;

4) вероятность поражения центра мишени только вторым выстрелом. Обозначим

А = {попадание при 1-м выстреле},

В = {попадание при 2-м выстреле},

С = {поражение центра мишени}. Тогда

A   B = {попадание в мишень},

A   C = {поражение центра мишени при первом выстреле},

(В С) = {поражение центра мишени только вторым выстрелом}.

1) Р(А В) = 0,4 + 0,7 – 0,4  0,7 = 0,82 .

2) Р(А С) = 0,4  0,6 = 0,24 .

3) Р(С) = Р((А С) (В С)) = 0,24 + 0,42 – 0,24  0,42 = 0,56.

4) Р(( ) (В С) = (1 – 0,24)  0,42 = 0,32.

Пример. Определить надежность системы, составленной из шести независимо работающих элементов. Надежности элементов: Схема соединения элементов представлена на рисунке 13.2а.

Рис. 13.2а Рис. 13.2б

Рис. 13.2в

Элементы (2) и (3) соединены последовательно. Заменяем их элементом (2,3) с надежностью . Элементы (4) и (5) соединены параллельно. Заменяем их элементом (4,5) с надежностью . Вместо исходной системы рассматриваем эквивалентную ей систему элементов (1), (2,3), (4,5), (6), соединенных по схеме на рис. 13.2б. Элементы (1) и (2,3) соединены параллельно, их надежность определяется формулой .

Элементы (4,5), (6) соединены параллельно, их надежность равна Таким образом, вместо исходной системы мы можем рассматривать систему из двух последовательно соединенных элементов (1,2,3) и (4,5,6) с надежностями и соответственно (рис. 13.2в). Надежность этой системы

.

Подставляя надежности элементов, получим для надежности системы