12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Нормальной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида:

где а_ij – постоянные коэффициенты,

f_i(t) – заданные функции.

Решением системы называется совокупность n функций х₁(t), х₂(t),…, х_n(t), удовлетворяющих каждому уравнению системы. Начальные условия для системы имеют вид

х₁(t₀) = х₁₀, х₂(t₀) = х₂₀, … х_n(t₀) = х_n0,

где t₀, х₁₀, х₂₀, … , х _n0 – заданные числа.

Общим решение системы называется совокупность n функций , обращающих все уравнения системы в тождества и позволяющих однозначно определить значения n произвольных постоянных , при которых выполняются заданные начальные условия

Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Полагая, что решения системы х_i(t), удовлетворяющие начальным условиям есть оригиналы, имеющие изображения Х_i(p) → х_i(t), и используя теорему дифференцирования оригиналов, запишем изображение системы дифференциальных уравнений

где F_i(p) – изображения функций f_i(t).

Из полученной системы алгебраических уравнений находятся изображения Х_i(p), оригиналы которых являются решением системы дифференциальных уравнений.

Пример. Найти функции и , являющиеся решением системы:

при начальных условиях

Запишем изображения искомых функций и их производных:

, ,

,

.

Тогда система операторных уравнений примет вид:



Решить систему можно по формулам Крамера:

;

;

Откуда

; .

По таблице 12.1 находим частное решение системы дифференциальных уравнений:

Задачи для самостоятельного решения

№	Задание
1		Найти изображение функции .
2		Найти изображение функции .
3		Найти изображение функции .
4		Найти изображение функции
5		Найти оригинал функции
6		Найти оригинал функции
7		Найти оригинал изображения .
8		Найти оригинал функции
9		Найти оригинал функции
10		Найти оригинал функции
11		Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях:
12		Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях
13		Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях
14		При начальных условиях решить систему дифференциальных уравнений

13 Теория вероятностей

13.1 Классическое определение вероятности

Испытанием (экспериментом, опытом) в теории вероятностей называется регистрация результата (события, исхода) при выполнении определенного комплекса условий. События, которые в испытании вместе произойти не могут, называются несовместными. Событие , состоящее в том, что событие А в испытании не происходит, называется событием, противоположным событию А.

А В – объединение (рис. 13.1a) событий (происходят либо А, либо В, либо оба события);

А В – пересечение (рис. 13.1б) событий (происходят и А, и В);

А\В – разность (рис. 13.1в) событий (происходят событие А и событие );

Рис. 13.1a Рис. 13.1б Рис. 13.1в

Событие , которое всегда происходит в испытании, называется достоверным событием; событие , которое в испытании никогда не происходит, называется невозможным событием. Случайным событием (результатом, исходом) называется событие, которое может, как произойти, так и не произойти в испытании.

Вероятность есть числовая характеристика возможности появления события А в испытании. Классическое определение вероятности

где n – общее число возможных исходов (элементарных событий); m – число исходов, при которых происходит событие А (благоприятствующих событию А).

Классическое определение вероятности можно применять в случаях, когда элементарные исходы единственно возможны (одно из них обязательно произойдет), попарно несовместны (более одного элементарного исхода в испытании произойти не может) и равновозможны.