14.2 Точечные и интервальные оценки параметров

Точечной оценкой (оценкой одним числом) неизвестного параметра  генеральной совокупности является число, зависящее от элементов выборки. Точечными оценками математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х являются выборочное среднее и выборочная дисперсия или исправленная выборочная дисперсия .

Интервальной оценкой неизвестного параметра  генеральной совокупности называется интервал (^* – , ^* + ), накрывающий неизвестное значение оцениваемого параметра с заданной вероятностью , которую называют доверительной вероятностью (рис. 14.3):

.

Рис. 14.3

Интервал (^* – , ^* + ) называется доверительным интервалом,  – точностью оценки.

Пример. Результаты измерений, полученных при испытаниях: 4; 5; 8; 9; 11. Найти оценку математического ожидания.

= 7,4.

Пример. Результаты измерений, полученных при испытаниях: 11; 13; 15. Найти оценку дисперсии s².

Математическое ожидание (11 + 13 + 15) = 13;

исправленная выборочная дисперсия s² =  = 4.

Пример. Точечная оценка параметра распределения равна 20. Какой из интервалов (20; 21), (19; 21), (0, 20), (19, 20) может служить интервальной оценкой?

Интервальной оценкой (^* – , ^* + ) является интервал (19; 21) при ^* = 20 и  = 1.

14.3 Статистические гипотезы

Статистической называют гипотезу о параметрах генеральной совокупности или о виде ее распределения. Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по нормальному закону;

2) дисперсии двух генеральных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй – параметрах двух распределений.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Альтернативной (конкурирующей) называется гипотеза , которая противоречит нулевой. Например, если проверяется основная гипотеза о нулевом значении математического ожидания ( ), то предположение может быть альтернативной гипотезой ,

Выдвинутая гипотеза может быть ошибочной, поэтому возникает необходимость ее статистической проверки, т.е. непротиворечивости гипотезы и результатов опытов. После статистической проверки гипотеза может быть либо принята, либо отвергнута. Для проверки гипотезы используют специально подобранную случайную величину , распределение которой известно. Величина , обеспечивающая проверку гипотезы , называется статистическим критерием. Критической областью называется множество значений критерия , при которых нулевая гипотеза отвергается. Эта область должна быть выбрана так, чтобы попадание в нее случайной величины было событием маловероятным, если гипотеза верна. Значение критерия, вычисленное по выборке, называется наблюдаемым значением . Если эта величина оказалась в критической области, то считается, что выдвинутое предположение не согласуется с конкретной выборкой. В этом случае гипотеза признается ошибочной.

Принятое статистическое решение не всегда бывает верным. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергнута правильная гипотеза (предположение отвергнуто, хотя оно верно). Ошибка второго рода состоит в том, что принята неправильная гипотеза (предположение признано верным, хотя оно ошибочно). Вероятность совершения ошибки первого рода называется уровнем значимости критерия.