1. Вероятностное пространство.

Для построения математических моделей случайных явлений, изучаемых в теории вероятностей, используется вероятностное пространство, т.е. структура ( , где – пространство элементарных событий, – алгебра событий ( – алгебра), – вероятностная мера (вероятность).

1.1. Пространство элементарных событий.

Пространством элементарных событий называется любое непустое множество . Элементы этого множества называются элементарными событиями (э.с.). В реальном опыте элементарным событиям соответствуют взаимно исключающие исходы эксперимента (опыта). Пространство элементарных событий должно быть выбрано подходящим образом исследователем.

Пример 1.1.

Подбрасывается один раз игральный кубик. Простейший наблюдаемый результат опыта – число очков на верхней грани кубика. В качестве пространства элементарных событий можно взять множество . Элементарные события – числа от 1 до 6.

Пример 1.2.

Подбрасывается монета до первого появления герба. Исходы опыта – – выпадение первого герба при – ом подбрасывании монеты,

= 1, . . ., , . . .. Пространство элементарных событий можно задать в виде последовательности

,

где означает выпадение цифры при – ом подбрасывании монеты, – выпадение герба при – ом подбрасывании монеты, элементарными событиями являются цепочки вида .

Пример 1.3.

Опыт – ожидание автобуса. Исходы опыта – время ожидания автобуса. Пространство элементарных событий , где – интервал движения автобусов.

Если множество дискретно (пример 1.1) или счетно (пример 2.1), то любые подмножества называются событиями. Например, в примере 1.1 подмножество означает событие, состоящее в том, что на верхней грани кубика выпадает четное число очков.

Если пространство элементарных событий непрерывно (пример 3.1), то событиями являются не любые подмножества , а только те из них, которые образуют класс подмножеств, замкнутый относительно основных операций над событиями.

1.2. Операции над событиями.

Так как любое событие отождествляется с множеством, то операции над событиями – это операции над множествами.

Принято множество называть достоверным событием. В опыте событие происходит всегда. Пустое множество называется невозможным событием. В опыте событие не происходит никогда.

Над событиями определены отношения включения ( ) и эквивалентности (~). Так, означает, что если происходит событие , то происходит и событие (т.е. – подмножество ).

~ означает, что и . Обозначают эквивалентные события = .

Очевидно, что для любого события справедливы соотношения: .

Над событиями определяются операции объединения (суммы), пересечения (произведения), разности и отрицания.

1. Суммой (или объединением событий называется событие , состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из событий . Для записи суммы событий используется одно из обозначений

.

2. Произведением (или пересечением) событий называется событие , состоящее в том, что в опыте происходят все события . Для обозначения произведения событий используются обозначения

Если речь идет об объединении или пересечении бесконечного числа событий, то используют записи

.

3. Разностью событий и называется событие, состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит.

4. Отрицанием события называется событие , состоящее в том, что событие не происходит. Очевидно, что = .

Свойства операций над событиями.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Если

10.

Формулы (10) называются формулами де Моргана (или теоремами двойственности).

Введем ряд важных для дальнейшего определений.

1. События называются единственно возможными, если их объединение является достоверным событием, т.е.

2. События называются попарно несовместными, если пересечения различных пар событий являются невозможным событием

;

3. События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и единственно возможны.