2.1. Элементы комбинаторики.

При использовании классической формулы вероятности полезны формулы комбинаторики. Рассмотрим некоторые из них.

Размещения.

Пусть имеется множество из элементов. Каждое его упорядоченное подмножество из элементов называется размещением из элементов по . Итак, размещения – это подмножества из элементов, отличающиеся друг от друга либо элементами, либо порядком элементов. Число размещений находится по формуле

, (2)

где (читается «эн факториал») – это произведение натуральных чисел от 1 до : . Очевидно, , принято .

Перестановки.

При размещения называют перестановками из элементов:

(3)

Перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетания.

Любые подмножества из элементов некоторого множества из элементов называются сочетаниями из элементов по . Сочетания отличаются друг от друга только элементами. Число сочетаний находится по формуле

. (4)

Очевидно, .

Правило произведений.

Правило произведений в общем случае формулируется так: если элемент можно выбрать способами, элемент – способами и т.д., элемент – способами, то комбинацию элементов можно выбрать способами.

Пример 2.1.

В партии из деталей бракованных. Для проверки контролер берет деталей. Найти вероятность того, что в выбранной контролером партии k бракованных деталей; .

Решение.

Обозначим событие выбрать из партии деталь с номером . За пространство э.с. можно взять цепочки из l элементов , , отличающиеся друг от друга только элементами. Тогда число возможных исходов опыта

.

Число способов выбора ( – ) доброкачественных деталей из имеющихся ( – ) доброкачественных деталей равно , число способов выбора бракованных деталей из имеющихся бракованных деталей равно . Число исходов, благоприятствующих событию (в партии из изделий изделий бракованные), находится по правилу произведений

.

Вероятность события находим по классической формуле вероятности (1)

.

Пример 2.2.

Из 50 вопросов программы студент выучил 35 вопросов. В билете 3 неповторяющихся вопроса. Найти вероятность того, что студент выберет билет, в котором он не знает только один вопрос.

Решение.

Билеты отличаются хотя бы одним вопросом, порядок вопросов неважен. Следовательно, билетов по три вопроса из 50 вопросов программы можно составить способами. Выучено 35 вопросов. Два вопроса из этого набора студент может получить способами. Один невыученный вопрос – способами. Используем принцип произведений для вычисления числа благоприятствующих событий: .

По классической формуле вероятностей (1) получим

=

Ответ: 0,455.

Пример 2.3.

В группе 6 девушек и 3 юноши. Найти вероятность того, что при случайной группировке по три человека в каждой подгруппе будет по одному юноши.

Решение.

Обозначим через , , номера девяти участников группы. Тогда пространство элементарных событий это множество, элементами которого являются тройки неповторяющихся номеров членов группы Эти тройки отличаются друг от друга только номерами, но не порядком номеров. Поэтому можно рассуждать так: первую тройку можно выбрать из 9 участников способами, вторую тройку из оставшихся 6 участников – способами, третью тройку из оставшихся 3 человек – способами. Согласно принципу произведений для общего числа выбора троек имеем

.

Выбираем первую подгруппу из одного юноши и двух девушек способами, вторую подгруппу из одного юноши и двух девушек – способами, третью подгруппу из одного юноши и двух девушек – . Число благоприятствующих событию способов находим по принципу произведений

По классической формуле вероятностей находим вероятность

.

Ответ: 9/28.

Пример 2.4.

18 футбольных команд, среди которых 2 сильнейшие, произвольно разбиваются на 2 подгруппы по 9 команд в каждой. Найти вероятность того, что 1) в каждой подгруппе будет по одной сильнейшей команде (событие ) 2) две сильнейшие команды попадут в одну подгруппу (событие ).

Решение.

18 команд разбить на две подгруппы по 9 команд можно способами.

1) Одну сильнейшую команду из двух сильнейших можно выбрать способами, остальные 8 команд из 16 команд можно выбрать способами. Число способов, благоприятствующих событию , найдем по принципу произведений . Вероятность события определяем по классической формуле вероятности (1)

2) Одну подгруппу из двух выбираем способами. Отбираем в нее две сильнейшие команды способами, оставшиеся 7 команд выбираем из 16 команд способами. По принципу произведений число способов, благоприятствующих событию , определяется выражением .

Вероятность события определяем по классической формуле вероятности (1)

.

Замечание. Вероятность события можно было получить иначе. По условию задачи .

Ответ: 1) 9/17; 2) 8/17.

Пример 2.5.

Пять шариков разбрасываются случайным образом по 6 лункам. Каждый шарик попадает в ту или другую лунку независимо от других с одной и той же вероятностью. В каждой лунке может быть любое число шариков. Найти вероятность того, что в одной лунке будет 3 шарика, в другой 2 шарика, а в остальных шариков не будет (событие ).

Решение.

Каждый из 5 шариков может быть помещен в лунки 6 способами (лунок всего 6). По принципу произведений число способов размещения шаров по лункам . Найдем число способов размещения шаров по лункам, благоприятствующих событию . Выбираем из 6 лунок одну способами и помещаем в нее 3 шара, которые выбираем из 5 шаров способами. Из оставшихся 5 лунок выбираем одну способами и помещаем в нее 2 шара, которые выбираем из оставшихся 2 шаров способами. Все шары размещены по лункам. Оставшиеся 3 лунки остаются свободными. Согласно принципу произведений имеем

.

Производя вычисления, получим = .

Вероятность события равна

Ответ: 0,039.

Пример 2.6.

В лифт 9 – этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что на одном этаже выйдут 3 человека, а на другом 2 человека (событие ).

Решение.

Каждый человек может выйти на любом этаже, начиная со второго, т.е. 8 способами. По принципу произведений число возможных выходов пассажиров . Находим число способов, благоприятствующих событию : из 5 человек выбираем 3 человека способами, выбираем этаж, на котором они выйдут, способами. Оставшиеся два человека могут вместе выйти на одном этаже способами. По принципу произведений получим .

По классической формуле вероятности (1)

.

Ответ: 0,017.

Пример 2.7.

Абонент забыл 3 последние цифры номера телефона, но помнил, что они различны. Найти вероятность того, что наудачу набранный номер телефона правильный (событие ).

Решение.

Элементами пространства элементарных событий являются цепочки из трех различных цифр, отличающихся друг от друга либо порядком, либо цифрами. Общее число таких цепочек

= .

Число благоприятствующих событию исходов .

Вероятность события находим по классической формуле

.

Ответ: 1/720.