4. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей.
Условная вероятность
события
при условии, что произошло событие
,
определяется по формуле
.
(6)
Аналогично условная вероятность события при условии, что событие произошло, определяется по формуле
.
(7)
Вероятности, определяемые формулами (6) и (7), удовлетворяют аксиомам (1− 3) вероятностного пространства (проверьте самостоятельно).
Пример 4.1.
В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно извлекаются два шара. Найти вероятность того, что второй шар белого цвета (событие ) при условии, что первый шар белого цвета (событие ). Предполагается, что шары в урну не возвращаются.
Решение.
По классической формуле вероятности (1) имеем
.
По формуле (6)
.
Ответ: 2/7.
Из формул (6) и (7) получаем теорему умножения вероятностей
.
(8)
Теорема умножения
вероятностей обобщается на
сомножителей:
.
(9)
Пример 4.2.
Ребенок, не умеющий читать, из букв разрезной азбуки: А, С, А, С, Д, С извлекает три карточки без возвращения. Найти вероятность того, что он получит слово «САД» (событие ).
Решение.
Пусть
–
событие, состоящее в том, что первая
извлеченная карточка «С»,
–
вторая извлеченная карточка «А»,
– третья извлеченная карточка «Д».
Тогда событие
можно представить
.
По теореме умножения вероятностей (6)
Используя классическую формулу вероятностей, получим
.
Ответ: 1/20.
Введем определения.
1) События и называются независимыми, если выполняется условие
Из формулы (6) получаем, что условные вероятности равны безусловным вероятностям для независимых событий и :
.
2) События
называются попарно
независимыми,
если для любых двух событий из них
выполняются условия
.
3)События
называются независимыми
в совокупности,
если для любых
= 1, 2, . . . ,
и
выполняется условие
.
Отметим, что из независимости в совокупности следует попарная независимость, но не наоборот.
Пример 4.3.
В условии задачи 4.2 предположим, что извлеченная карточка возвращается ребенком в исходный массив.
По условию задачи
имеем, что события
независимы в совокупности.
Тогда вероятность получить слово «САД» определяется по формуле
Ответ: 1/36.
5. Теорема сложения вероятностей.
Если события
и
совместны
(
Ø),
то вероятность объединения этих событий
определяется по формуле
(10)
Формула (10) называется теоремой сложения вероятностей несовместных событий.
Если события
,
несовместны
(
Ø)
, то из формулы (10) получаем теорему
сложения вероятностей несовместных
событий
( аксиому 3 вероятностного
пространства)
.
Пример 5.1.
В группе 16 человек: 6 девушек и 10 юношей. Повышенная стипендия назначена 5 студентам – отличникам, среди них 2 девушки. Наудачу выбирается студент. Найти вероятность того, что это отличник (событие ) или юноша (событие ).
Из условия задачи заключаем, что события и совместны.
По классической формуле вероятностей находим вероятности событий
.
По теореме сложения вероятностей (10) находим
.
Ответ: 3/4.