3. Геометрический подход к вычислению вероятностей.

Классическую формулу вероятности нельзя применить, если число равновозможных исходов бесконечно. Геометрическое определение вероятности приспособлено для описания такой ситуации.

Пусть пространство элементарных событий – ограниченное множество – мерного пространства , имеющего меру . Если , то – длина отрезка. Опыт состоит в выборе наудачу точки этого отрезка. Если , то – площадь области и опыт состоит в выборе наудачу точки этой области и т.д. В качестве – алгебры берется множество подмножеств , имеющих меру.

Если условия опыта таковы, что вероятность попадания случайной точки в область с мерой пропорциональна мере , то имеет место формула геометрической вероятности

. (5)

Пример 3.1.

Из области , определяемой неравенствами , наудачу выбирается точка. Найти вероятность того, что точка попадет в область , определяемую неравенствами (рис. 1).

Решение.

Пространство элементарных событий – это множество точек области − область ОАВО. Площадь этой области определяется двойным интегралом

.

Множество благоприятствующих событию исходов – это область − область ОАО. Ее площадь определяется как

.

Тогда .

у у

4 В

A

l

y=2x y=x

M С

l/2

1 А

О О К В

0 1 2 х 0 l/2 l х

Рис.1 Рис.2

Ответ: 1/8.

Пример 3.2.

Отрезок длины произвольно разделен на три части. Найти вероятность того, что из полученных трех частей можно составить треугольник (событие ).

Решение.

Обозначим длины получившихся отрезков через .

По условию задачи .

В треугольнике разность сторон меньше третьей стороны, а сумма сторон больше третьей стороны. Следовательно, можно считать, что

.

Т ак как .

Но следовательно, .

Пространство элементарных событий – это множество точек , определяемое неравенствами (рис.2, область ). Множество элементарных событий, благоприятствующих событию , образуют область, определяемую неравенствами

(рис.2, область ). Находим площади вышеуказанных областей:

По формуле геометрической вероятности (5)

.

Ответ: 1/4.