7. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Пусть события образуют полную группу событий, т.е.

1)события попарно несовместны

( Ø, ),

2) события единственно возможны .

Тогда вероятность любого события , происходящего в условиях эксперимента, определяется по формуле

(14)

Формула (14) называется формулой полной вероятности, события называются гипотезами.

Если известно, что в условиях эксперимента некоторое событие произошло, то условные вероятности событий , определяются по формулам

. (15)

Формулы (15) называются формулами Байеса или формулами вероятностей гипотез.

Пример 7.1.

В трех однотипных ящиках находятся стандартные и нестандартные детали. В первом ящике 3 стандартных и 2 нестандартных детали, во втором – 4 стандартных и 1 нестандартная деталь, в третьем – 5 стандартных и 2 нестандартных детали. Из наудачу взятого ящика извлечена деталь. Найти вероятность того, что эта деталь стандартная (событие ).

Решение.

Пусть – события, состоящие в том, что выбран первый, второй, третий ящик соответственно. События образуют полную группу событий. По условию задачи

По формуле полной вероятности (14) получаем

Ответ: 88/105.

Пример 7.2.

В корзине 5 новых и 4 использованных мяча. Для первой игры берут наудачу два мяча и возвращают их обратно после игры. Для второй игры берут один мяч. Найти вероятность того, что он новый (событие ).

Решение.

Обозначим через – событие, состоящее в том, что для первой игры взяли два новых мяча, – для первой игры взяли 1 новый и один использованный мяч, – для первой игры взяли два использованных мяча. Из условия задачи следует, что события образуют полную группу событий. Найдем вероятности этих событий по классической схеме:

.

Условные вероятности также определяем по классической схеме. Так, при условии после первой игры в корзине будет 3 новых и 6 использованных мячей. Следовательно, . Аналогично .

По формуле полной вероятности (11) получим

.

Ответ: 35/81.

Пример 7.3.

Два студента выучили по 20 одинаковых вопросов из 30 вопросов программы. Билет содержит один вопрос. Когда лучше идти на экзамен, первым или вторым, если использованные билеты из обращения изымаются?

Решение.

Пусть – событие, состоящее в том, что идущий первым получит выученный билет, – идущий вторым получит выученный билет. По классической схеме вероятность события определяется как .

Для студента, идущего вторым, возможны ситуации: – идущий первым взял выученный билет, невыученный билет соответственно. Вероятности этих событий определяем по классической схеме: .

Условные вероятности также определяем по классической схеме:

.

По формуле полной вероятности (14) для вероятности события получаем

Ответ: вероятности одинаковы для обоих студентов и равны 2/3.

Пример 7.4.

Решить предыдущую задачу в предположении, что билет содержит два неповторяющихся вопроса и что для сдачи экзамена достаточно ответить хотя бы на один вопрос.

Пусть как и прежде – событие, что студент, идущий первым, ответит хотя бы на один вопрос. Тогда – событие, что студент не ответит ни на один вопрос. Следовательно, . С использованием классической схемы получаем

Обозначим – событие, что студент, идущий вторым, ответит хотя бы на один вопрос. Тогда – событие, что студент, идущий вторым, не ответит ни на один вопрос. Возможны следующие ситуации:

– студент, идущий первым, получил два выученных вопроса;

– студент, идущий первым, получил один выученный и один невыученный вопрос;

– студент, идущий первым, получил два невыученных вопроса.

Вероятности этих событий определяем по классической схеме:

Определяем условные вероятности для события .

Для вероятности события получаем выражение

.

Ответ: вероятности ответить хотя бы на один из двух вопросов билета одинаковы для обоих студентов и равны 26/29.

Пример 7.5.

Три стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятности попаданий в мишень при одном выстреле равны для первого, второго, третьего стрелков соответственно 0,6; 0,5; 0,4. Найти

1) вероятность того, что было два попадания (событие ),

2) вероятность того, что промахнулся первый стрелок при условии, что было два попадания,

3) вероятность того, что попал первый стрелок при условии, что было два попадания.

Решение.

1) Обозначим – событие, состоящее в том, что промахнулся первый стрелок, попал первый стрелок.

Тогда по условию

Найдем условные вероятности. Событие состоит в том, что было два попадания при условии промаха первым стрелком, т.е. в мишень попали второй и третий стрелок. По теореме умножения вероятностей независимых событий

Событие ( ) состоит в том, что в мишень было два попадания, при условии, что попал первый стрелок, т.е. попал второй стрелок и промахнулся третий стрелок либо попал третий стрелок и промахнулся второй стрелок. По теореме сложения вероятностей несовместных событий и теореме умножения независимых событий будем иметь

.

По формуле полной вероятности (14) для вероятности двух попаданий в мишень будем иметь

2) По формулам Байеса (15) находим вероятность того, что промахнулся первый стрелок при условии, что было два попадания, т.е попали в цель второй и третий стрелки

.

3) По формулам Байеса (15) находим вероятность того, что попал первый стрелок при условии, что было два попадания, т.е. попал в цель второй и промахнулся третий стрелок или попал третий и промахнулся второй

.

Ответ: 1) 0,38; 2) 8/38, 3) 30/38.

Пример 7.6.

Работу некоторой системы обеспечивает один из трех блоков, которые включаются с вероятностью 0,1; 0,7; 0,2 соответственно. Надежность системы при включенном первом блоке 0,9, при включенном втором блоке – 0,3, при включенном третьем блоке – 0,7. Система вышла из строя. В какой последовательности следует искать неисправности в обеспечивающих работу блоках.

Решение.

Обозначим – события, что работу системы обеспечивает первый, второй, третий блок соответственно, – событие, что система вышла из строя. По условию задачи имеем

.

Условные вероятности

.

Вероятность выхода системы из строя находим по формуле полной вероятности (14)

.

Условные вероятности того, что отказавшую систему обслуживал блок , находим по формулам Байеса (15)

Ответ: искать неисправности следует рекомендовать в такой последовательности: второй блок, третий блок, первый блок.

Пример 7.7.

На склад поступили однотипные детали с трех станков в соотношении 3:5:2. Первый станок выпускает 1% бракованных изделий, второй – 2%, третий – 0,5%. Детали смешали. Наудачу выбранная деталь оказалась бракованной. На каком станке она была вероятнее всего изготовлена?

Решение.

Обозначим события, что деталь изготовлена на первом, втором, третьем станке соответственно. По условию задачи

.

Пусть – событие, что выбранная деталь оказалась бракованной. Условные вероятности

По формуле полной вероятности (11) находим вероятность события :

Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, при условии, что она оказалась бракованной, находим по формуле Байеса (15)

.

Аналогично

.

Ответ: вероятнее всего бракованная деталь была изготовлена на втором станке.

Пример 7.8.

В урне №1 два белых и 4 черных шара. В урне №2 – 3 белых и 3 черных шара. Студент должен выбрать из какой-нибудь урны 2 шара. Урны различимы, но состав урны студенту неизвестен. Студент подбрасывает симметричную игральную кость. Если число очков не больше двух, то он выбирает урну №1, если число очков больше двух, то он выбирает урну №2. Выбранные студентом шары оказались белого цвета (событие ). Из какой урны вероятнее всего производился выбор.

Решение.

Обозначим события – выбрана урна №1, №2 соответственно. Число возможных исходов при подбрасывании симметричной игральной кости равно 6: два исхода с числом очков не больше двух и 4 исхода с числом очков больше двух. По классической схеме находим вероятности этих событий .

Условные вероятности также вычисляем по классической схеме

.

По формуле полной вероятности (14) находим вероятность выбора двух белых шаров

По формулам Байеса (15) находим вероятности выбора урны №1 (№2) при условии, что извлечены 2 белых шара

Ответ: вероятнее всего студент извлекал шары из урны №2.

Пример 7.9.

В совет директоров выбирается один кандидат от трех предприятий. Вероятность того, что это кандидат предприятия №1 равна 0,5, №2 – 0,3, №3 – 0,2. Кандидаты от предприятий №1, №2, №3 могут выполнить экологическую программу с вероятностью 0,3, 0,7, 0,8 соответственно. Экологическая программа была выполнена. От какого предприятия вероятнее всего был выбран кандидат.

Решение.

Пусть событие – экологическая программа выполнена, события – в совет директоров выбраны кандидаты от предприятий №1, №2, №3 соответственно. По условию задачи

По формуле полной вероятности (14) находим вероятность того, что экологическая программа выполнена

Условные вероятности выбора в совет директоров кандидата от предприятий №1, №2, №3 соответственно найдем по формулам Байеса (15)

Ответ: вероятнее всего в совет директоров был выбран кандидат от предприятия №2.