- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
Задачи для самостоятельного решения
№ |
Задание |
|
1 |
Частная производная функции по переменной y равна
1) 2) 3) 4) |
|
2 |
Частная производная функции по переменной х в точке M(1; /2) равна |
|
3 |
В точке М(1; 0) у функции z = x4cosy сумма равна |
|
4 |
Для функции справедливы соотношения
1) 2) 3) 4) |
|
5 |
Точное значение , приближенное значение . Относительная погрешность приближенного значения равна |
|
6 |
Уравнение нормали к поверхности в точке (1; 2; 3) имеет вид
1) 2) 3) 4) |
|
7 |
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (1; 2; 3) имеет вид
1) 2) 3) 4) |
|
8 |
Сумма координат стационарной точки функции равна |
|
9 |
Функция f(х; у) имеет частные производные второго порядка: . Тогда в стационарной точке
1) достигается максимум 2) достигается минимум 3) нет экстремума 4) требуются дальнейшие исследования фукции |
|
10 |
Условные экстремумы функции при условии достигаются в стационарных точках функции Лагранжа
1) 2) 3) 4). |
|
11 |
Записать уравнения линий уровня для скалярного поля u = 1 – x2 + y2 |
|
12 |
Градиент скалярного поля u = xy равен
1) y + x 2) x + y 3) xy + 4) + xy |
|
13 |
Модуль градиента скалярного поля u = xy2z в точке М(1; 1; –2) равен |
|
14 |
Производная скалярного поля u = xy в точке М(1; 1) в направлении единичного вектора = (0; 1) равна |
9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
9.1 Двойной интеграл
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области D в плоскости . Разобьем область D какими-нибудь линиями на n частей (площадок) S1, S2,…, Sn. Внутри каждой области Si возьмем точку Pi. Тогда будем иметь n точек P1, P2,…, Pn. Обозначим через f(P1), f(P2), …, f(Pn), значения функций в выбранных точках. Выражение называется интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.
Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм при максимальном диаметре площадки стремящемся к 0 (при этом ) и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные площадки, ни от способа выбора точек PiSi, то он называется двойным интегралом от f(x, y) по области D и обозначается:
или .
Таким образом, . Область D называется областью интегрирования.
Для непрерывных в области D функций справедливы свойства линейности и аддитивности, т.е.
,
где , – const.
,
где область D = D1 D2 – представляет собой объединение двух областей D1 и D2.
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом.
Пусть область D ограничена кривыми , причем и непрерывны на [a; b] и . В этой области всякая прямая, параллельная оси Oy и проходящая внутри отрезка [a; b] пересекает границу области в двух точках. Такая область называется простой вида1. Двойной интеграл по такой области вычисляется повторным интегрированием по формуле:
,
причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (x в этом случае является параметром), а полученный результат интегрируется по x. Заметим при этом, что если кривые или в промежутке [a; b] задаются различными аналитическими выражениями, например, , то интеграл записывается в виде суммы интегралов .
Пусть область D ограничена кривыми , причем непрерывны всюду на [c; d] и . В этой области всякая прямая, параллельная оси и проходящая внутри отрезка [c; d] пересекает границу области в двух точках. Такая область также называется простой. Двойной интеграл по такой области вычисляется повторным интегрированием по формуле:
,
причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной x (y в этом случае является параметром), а полученный результат интегрируется по y.
Пример. Вычислить , где область D задана неравенствами x y и 0 x 1.