- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
10.4 Тригонометрические ряды Фурье
Если периодическая (пункт 5.5) функция f(х) и её производная f (х) на периоде Т = 2l непрерывны, либо имеют не более чем конечное число разрывов первого рода (пункт 5.8), то во всех точках непрерывности справедливо равенство
f(х) = ,
где , , .
Ряд в правой части равенства называется тригонометрическим рядом Фурье функции В точках разрыва функции f(х) правая часть равенства принимает значение .
Cумма может быть представлена (рис. 10.3) в виде гармоники Аnsin(nx + n), т. е. синусоидального колебания с амплитудой Аn = , фазой , частотой , круговой (угловой) частотой , периодом .
Рис. 10.3
Ряд Фурье для четных функций. Если f(х) – чётная функция (пункт 5.5), то коэффициенты bn ряда Фурье равны нулю и разложение f(х) содержит только косинусы (разложение по косинусам):
f(х) = ; ; .
Ряд Фурье для нечетных функций. Если f(х) – нечётная функция, то нулю равны коэффициенты аn и разложение содержит только синусы (разложение по синусам):
f(х) = ; .
Пример. Записать уравнение гармонических колебаний с амплитудой 3, частотой ν = и фазой .
= 2ν = , f(х) = 3sin(х + ).
Пример. Установить вид ряда Фурье для функции, график которой представлен на рисунке 10.4. Функция f(х) не обладает свойствами чётности или нечётности, следовательно, ряд Фурье имеет вид: . |
Рис. 10.4 |
Пример. Записать разложение в ряд Фурье чётной функции f(х), заданной на отрезке [–2, 2].
f(х) – чётная, l = 2 f(х) = ,
где , аn = .
Пример. Записать ряд Фурье для периодической функции, график которой представлен на рисунке 10.5.
Функция f(х) – чётная, l = , f(х) = – х на отрезке [0; π].
Рис. 10.5
а0 = = = = ;
(пункт 7.3);
аn = = =
= , т. к. ;
.
Задачи для самостоятельного решения
№ |
Задание |
|||
1 |
Если формула n-го члена числовой последовательности имеет вид , то равно |
|
|
|
2 |
Необходимый признак сходимости числового ряда записывается в виде
1) 2) 3) 4) |
|
|
|
3 |
Установите соответствие между рядами и их названиями.
1) A) знакочередующийся 2) B) степенной. 3) С) знакоположительный. |
|
|
|
4 |
Если , то ряд сходится при q, равном
1) 1,5 2) 2 3) 0,5 4) –2 |
|
|
|
5 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда по определению. |
|||
6 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда по определению. |
|||
7 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда . |
|||
8 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда |
|||
9 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда |
|||
10 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда |
|||
11 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда . |
|||
12 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда |
|||
13 |
Установить сходимость или расходимость числового ряда |
|||
14 |
Установить область сходимости ряда . |
|||
15 |
Установить область сходимости ряда |
|||
16 |
Установить область сходимости ряда . |
|||
17 |
Установить область сходимости ряда |
|||
18 |
Разложить функцию по степеням (х – 2). |
|||
19 |
Разложить функцию по степеням х, используя стандартные разложения. |
|||
20 |
Разложить функцию по степеням х, используя стандартные разложения. |
|||
21 |
Разложить функцию по степеням х, используя стандартные разложения. |
|||
22 |
Разложить функцию по степеням х – 1, используя стандартные разложения. |
|||
23 |
Вычислить с точностью до 0,001. |
|||
24 |
Вычислить с точностью до 0,001. |
|||
25 |
Найти первые пять членов разложения в ряд Маклорена частного решения дифференциального уравнения . Начальные условия: .
|
|||
26 |
Периодической является функция
1) 2) 3) 4) |
|
|
|
27 |
График функции f(x) при х[0; 2π] и его периодическое продолжение заданы на рисунке.
Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид
1) 2) 3) 4) |
|
|
|
28 |
Разложить функцию в ряд Фурье. Т = 2. |
|||
29 |
Разложить функцию в ряд Фурье, заданную на отрезке [–1, 1]. |
|||
30 |
Разложить в ряд по косинусам функцию , заданную на отрезке [0, 2]. |