- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
8.1 Функции двух независимых переменных
Соответствие f, которое каждой паре чисел (x, y) D сопоставляет единственное число z, называется функцией двух переменных z = f(х , y). Каждой паре чисел x, y соответствует единственная точка М(x, y) на плоскости 0xy. Функция двух переменных z = f(х, y) допускает геометрическую интерпретацию в виде поверхности в пространстве (рис. 9.1), если апликата z в точке М0(x0, y0) равна значению функции f(х0, y0).
Рис. 8.1
8.2 Частные производные
Пусть z = f(х; у), тогда частные производные z¢x, z¢y по аргументам х и у соответственно имеют вид:
z¢x = = ;
z¢у = = .
Аналогично определяются частные производные функции произвольного числа аргументов. Так, например, функция трех аргументов может иметь три частные производные , , . Частные производные функции двух и более переменных находятся по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной (пункт 6.2); при этом все переменные, кроме той, по которой проводится дифференцирование, считаются постоянными.
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка:
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высоких порядков. Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными производными.
Теорема (о порядке дифференцирования). Смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования (в точках их непрерывности).
Например, = ; = = .
В таблице 8.1 приведены определения производных для функций одной (см. пункт 6.1) и двух переменных.
Таблица 8.1
Функция у = f(x) |
Функция |
Приращение:
|
Частные приращения: ;
|
Производная :
у =
|
Частные производные : ;
|
Производная второго порядка
|
Производные второго порядка ; ;
|
Пример. Найти частные производные функции .
Рассматривая и как постоянные, получим
Рассматривая и как постоянные, получим
Рассматривая и как постоянные, получим
Пример. Вычислить частные производные второго порядка функции
Частные производные первого порядка:
Частные производные второго порядка:
Видно, что
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
.
9.3 Полный дифференциал
Функция z = f(x; y) называется дифференцируемой, если ее полное приращение
z = f(x + х; y + y) – f(x; y)
может быть представлено в виде
z = Ах + Ву +х +у,
где А, ВR, , 0 при х, у 0.
Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x, y), то она имеет конечные частные производные в этой точке:
Определение. Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется линейная (относительно приращения аргументов) часть приращения функции:
Замечание. x = dх, y = dy для независимых переменных.
Применение дифференциала для приближенных вычислений основано на приближенном равенстве
.
В таблице 8.2 приведены определения дифференциалов для функций одной (см. пункт 6.5) и двух переменных.
Таблица 8.2
Функция у = f(x) |
Функция |
Дифференциал: dy = f (x0)x |
Полный дифференциал:
|
Приращение функции: у dy, f(x0 + х) f(x0) + f¢ (x0)х |
Приращение функции:
|
Пример. Вычислить приближенно (1,06)2,95.
При и функция равна 1.
Производные первого порядка функции : .
Частные приращения при и :
и .
Пример. Дана функция и точки A(2;3), B(1,97;3,01). Требуется вычислить: точное значение в точке B; значение в точке A и приближенное значение в точке B; относительную погрешность приближенного значения.
1) Точное значение данной функции в точке B:
2) Значение функции в точке A:
Производные первого порядка функции :
Приближенное значение в точке B:
3) Абсолютная погрешность приближенного вычисления:
Относительная погрешность:
что примерно соответствует 0,1%.