8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, в которой лежат все касательные в этой точке к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Если уравнение поверхности задано в неявной форме , уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид . При этом хотя бы одна из частных производных должна быть отлична от нуля. Уравнение нормали в этом случае имеет вид

.

Если уравнение поверхности задано в явной форме , то уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке принимают cоответственно вид:

,

В таблице 8.3 приведены формулы для касательных и нормалей функций одной (см. пункт 6.1) и двух переменных.

Таблица 8.3

Функция у = f(x).	Функция .
Уравнение касательной прямой y – y0 = f (x0) (x –x0).	Уравнение касательной плоскости
Уравнение нормали к плоской кривой	Уравнение нормали к поверхности

Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (2; 3).

Уравнение касательной плоскости: .

Уравнение нормали:

8.5 Экстремумы функций двух переменных

Определение. Точка М₀(х₀; y₀) называется точкой максимума (точкой минимума) функции z = f(x; y), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М(х; y) некоторой окрестности U(M₀) точки M₀ (рис. 9.2).

Это означает: М(x; y) U(M₀), M  M₀, справедливо неравенство f(x; y) < f(х₀; y₀) для точки максимума и f(x; y) > f(х₀; y₀) для точки минимума.

Значения функции в точках максимумов и минимумов называются соответственно максимумами (max f(x, y)) и минимумами (min f(x, y)). Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.

Рис. 8.2

Теорема (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(х, у) достигает в точке (х₀; у₀) экстремума, то её частные производные в этой точке равны нулю:

Точки, в которых обе частные производные равны нулю называются стационарными. На рисунке 8.2 точки М₀, М₁ являются стационарными. При этом М₀ – это точка максимума функции z = f(х; у), а М₁ не является точкой экстремума, хотя в этой точке частные производные равны нулю.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, где она не дифференцируема. Например, в точке М₂ (рис. 8.2) функция достигает минимума, но частные производные в этой точке не существуют.

Обозначим А, В, С значения вторых частных производных в стационарной точке :

Если , то функция f(х; у) в точке достигает экстремума (при А > 0 – максимума; при А < 0, – минимума).

Если , то в точке нет экстремума.

Если , то требуются дальнейшие исследования.

Пример. Найти экстремумы функции

Частные производные первого порядка:

Решение системы задает четыре стационарные точки:

Частные производные второго порядка:

Для точки (0; 0): А = 0, В = 6, С  = 0,

Значит, в точке (0; 0) нет экстремума.

Для точки (0; –6): А = 0, В = –6, С  = 0,

Значит, в точке (0; –6) нет экстремума.

Для точки

– точка минимума,

Для точки

– точка максимума,

В таблице 8.4 приведены условия экстремумов для функций одной (см. пункт 6.8) и двух переменных.

Таблица 8.4

Функция у = f(x).	Функция .
Необходимое условие экстремума: f¢ (x0) = 0.	Необходимое условие экстремума:
x0 точка минимума, если f¢¢ (x0) > 0; x0 точка максимума, если f¢¢ (x0) < 0.	(x0, y0) точка минимума, если ; (x0, y0) точка максимума, если .