14 Математическая статистика

14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма

В математической статистике генеральной совокупностью называется множество Х изучаемых однородных объектов. Выборкой называется набор объектов, случайно отобранных из этого множества. Также выборкой является набор значений случайной величины, полученных в результате n независимых испытаний. В этом случае генеральная совокупность Х есть множество всех возможных значений случайной величины. Пусть элементы выборки приняли значения , причем каждая наблюдаемая величина была зафиксирована раз. Тогда выборка имеет объем . Значения называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа называются частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называется перечень вариант и соответствующих им частот, которые обычно записываются в виде таблицы 14.1.

Таблица 14.1

Возможно также использование относительных частот, приведенное в таблице 14.2.

Таблица 14.2

Очевидно, что сумма всех чисел последней строки таблицы 1.2.2 равна единице, т.е. . Наглядное изображение статистического ряда называется полигоном частот. Для построения графика по оси абсцисс откладываются значения , а по оси ординат – соответствующие им частоты (или относительные частоты ). Полученные точки соединяются отрезками прямых.

Функция F*(х) = , где n_х – число членов вариационного ряда, меньших х, называется эмпирической функцией распределения. Аналогом графика плотности распределения случайной величины в математической статистике является гистограмма (рис. 14.9). Весь диапазон изменения выборки делится на k интервалов одинаковой длины точками а₀, а₁, … , а_k . Эти точки наносятся на ось 0х, и отрезки [а_j–1; а_j] длиной h = а_j – а_j–1 принимаются за основания прямоугольников. Высоты прямоугольников равны приведенным частотам (иногда допускается ); где n_j – количество элементов выборки, попавших в j-й интервал [а_j–1; а_j).

Рис. 14.1

Площадь S гистограммы равна 1 (или объему выборки n для высот ).

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n = 50.

Результаты наблюдений сведены в таблицу.

xi [0; 1) [1; 2) [2; 3) [3; 4] ni 10 9 8 n4

Найти n₄.

= 50  10 + 9 + 8 + n₄ = 50  n₄ = 23.

Пример. По выборке объёма n = 100 построена гистограмма (рис. 14.2). Найти значение а.

Рис. 14.2

Основания прямоугольников h = 2.

Площадь гистограммы S = 4  2 + 12  2 + 18  2 + а  2 = 100  а = 16.