- •§1. Основные понятия. 4
- •Вариант практической цели управления.
- •§2 Статические свойства сау. (Проблема точности). Основные принципы ау. Общая структура сау.
- •Общая структура сау.
- •§3. Классификация сау.
- •§4. Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейных систем.
- •Дифференциальное уравнение линейной непрерывной системы n-го порядка.
- •§5. Связь между входом и выходом системы во временной области.
- •§6. Передаточные функции типовых соединений звеньев.
- •§7. Частотные характеристики (чх) динамической системы.
- •Математические модели входа и выхода.
- •Физический смысл чпф.
- •§8. Частотные и временные характеристики типовых звеньев сау.
- •§9. Нетиповые и специальные звенья.
- •Неминимально-фазовые звенья
- •§10. Лах последовательно соединенных звеньев.
- •§11. Определение фазы по лах минимально-фазовой системы.
- •§12. Детализированные структурные схемы и сигнальные графы.
- •§13. Эквивалентные преобразования структурных схем линейной системы.
- •§14. Теорема Мейсена.
- •§15. Приближенное построение лчх параллельных соединений звеньев.
- •§16. Математические модели динамических систем в форме переменных состояния.
- •Запись уравнений переменных состояния по дсс.
- •§17. Линеаризация уравнений динамических систем.
- •Практические способы линеаризации.
- •§18. Передаточная матрица динамической системы.
- •§19. Управляемая каноническая форма.
- •§20. Устойчивость линейных систем.
- •Теоремы первого метода Ляпунова.
- •§21. Суждение об устойчивости линейной системы по коэффициентам характеристического полинома.
- •Критерии устойчивости Гурвица.
- •§22. Частотный критерий устойчивости Найквиста.
- •Критерий Найквиста для афх.
- •Критерий Найквиста для лчх.
- •§23. Качество сау.
- •Показатели качества переходной характеристики.
- •Частотные оценки качества.
- •Запасы устойчивости.
- •Показатель колебательности.
- •Полоса пропускания
- •Корневые оценки качества.
- •Стандартные полиномы .
- •§24. Точность сау.
- •Передаточная функция для ошибки.
- •Коэффициент ошибок.
- •Способы нахождения коэффициентов ошибок.
- •Способы определения порядка астатизма.
- •Добротность.
- •§ 25. Синтез сау.
- •Классический алгоритм синтеза.
- •Методы последовательной коррекции. Типовые последовательные ку.
- •Параллельная коррекция.
- •§26. Системы подчиненного регулирования (спр).
- •Стандартная настройка на оптимум по модулю (ом).
- •Настройка на симметричный оптимум (см).
- •Достоинства спр (систем подчиненного регулирования).
- •§27. Модальное управление.
- •Методика синтеза модального регулятора.
Запись уравнений переменных состояния по дсс.
Если не требуется получения специальных (канонических) форм, то проще всего это сделать по методике:
Выбрать в качестве переменных состояния, выходные переменные всех интегрирующих звеньев.
По схеме записать уравнения состояния:
,.
Для этого звено
удобно рассматривать как
тогда , гдедолжна быть выражена черези.
По схеме записать уравнения выхода:
По уравнениям записать матрицы и уравнения вида:,.
Замечание: Если схема не является ДСС то удобно воспользоваться УКФ (смотри далее).
§17. Линеаризация уравнений динамических систем.
Линеаризация – замена не линейной математической модели приближенной линейной моделью, которая при определенных условиях эквивалентна исходной модели.
Линеаризация функции одной переменной(линеаризация не линейной статической характеристики).
Пусть звено описывается уравнением (17.1)
Где вход;выход.
Пусть в установившемся режиме .
В переходном процессе иотличаются оти, т.е. возникают отклонения(17.2)
точка линеаризации.
Задача линеаризации уравнения (17.1) в малой окрестности состоит в приближенной замене (17.1) линейным уравнением записанным для отклоненийи.
(17.3)
Чтобы найти коэффициент линеаризации разложим функциюв ряд Тейлора в окрестности точки, считая, чтоимеет в этой точке необходимое число производных.
(17.4)
где, например,
Считая отклонения малыми, удержим в (17.4) только члены содержащиев степени не больше первой.
(17.5)
Вычтем из уравнения (17.5) уравнение статики
(17.6)
Тогда с учётом (17.2) получаем
(17.7)
Из сравнения (17.7) и (17.3) находим
(17.8)
Геометрически коэффициент линеаризации есть угла наклона касательной к графику функции в точке линеаризации.
Особенности уравнения (17.7) или (17.3).
В отличие от уравнения (17.7) оно записано не для самих переменных, а для их отклонений.
Относительно отклонений оно линейно.
оно является приближенным, т.к. были отброшены члены высших порядков малости в разложенном ряде Тейлора.
Замечания:
Метод справедлив только при малости отклонений.
Не могут быть линеаризованы функции имеющие разрывы.
Обычно не линеаризуются гладкие функции (имеющие разрывы производных).
Линеаризация функции нескольких переменных.
Пусть функция
(17.9)
дифференцируема в окрестности по каждому аргументу.
Разложим в ряд Тейлора и отбросим члены высших порядков малости.
(17.10)
где
Вычитая уравнение статики
(17.11)
получаем с учетом обозначений
,;
(17.12)
где коэффициент линеаризации .
Уравнениям (17.9) и (17.12) соответствуют схемы:
Линеаризация уравнений в переменных состояния.
(17.13)
(17.14)
Разложим ив ряд Тейлора в окрестности точкии отбросим
(17.15)
(17.16)
Вычтем из уравнения (17.15) и (17.16) уравнения статики
с учетом обозначений
;;;, получаем
В векторной форме
Практические способы линеаризации.
Описанная выше процедура с разложением в ряд Тейлора, на примере функции .
Представляем все переменные как
;
Выполняем все действия предусмотренные в .
Вычитаем уравнение статики.
Самый короткий.
Записываем полный дифференциал.
Заменяем
Пример 17.1.
.