Теоремы первого метода Ляпунова.

Они позволяют судить об устойчивости состояния равновесия нелинейной системы (20.14)

по уравнению(20.15)

полученному линеаризацией функции в точке(замечание:).

Теорема 20.4. Если все собственные значения матрицы находятся в левой полуплоскости, то состояниесистемы (20.14) асимптотически устойчиво. Таким образом, отброшенные при линеаризации члены не могут сделать систему неустойчивой.

Теорема 20.5. Если среди собственных значений матрицы хотя бы одно находится в правой полуплоскости, то состояниесистемы (20.14) неустойчиво.

Теорема 20.6. Если среди собственных значений матрицы хотя бы одно имеет нулевую вещественную часть, то по уравнению (20.15) нельзя судить об устойчивости состояниясистемы (20.14). Таким образом, надо анализировать уравнение (29.14).

§21. Суждение об устойчивости линейной системы по коэффициентам характеристического полинома.

Вследствие трудности определения корней характеристического полином для и не конструктивности прямых (корневых) методов анализа устойчивости (неясно, что нужно сделать, чтобы неустойчивую систему сделать устойчивой). Широкое применение получили косвенные методы анализа устойчивости – критерии устойчивости:

1. алгебраические (Столье, Гурвица, Льенара-Шинара и др.);

2. частотные (Найквиста, Михайлова);

Теорема 21.1. Необходимый критерий устойчивости Столье. Пусть система порядка имеет характеристический полином(21.1)

Если система асимптотически устойчива, то все коэффициенты в (21.1) устойчивы: для всех.

Доказательство: пусть система асимптотически устойчива, тогда согласно теореме (20.2) все корни левые, т.е.или. Полагая, что в (21.1).

Следовательно, для всех, что и требовалось доказать.

Невыполнение условия теоремы означает отсутствие асимптотической устойчивости (доказывается от противного). Выполнение условия теоремы не означает не асимптотической устойчивости и не устойчивости по Ляпунову. В силу необходимого характера теоремы (21.1). Если среди хотя бы один отрицателен, то система неустойчива, поскольку это может означать апериодическую границу устойчивости. Если система находится на апериодической границе устойчивости, то. Действительно:

даёт корень

Гурвицев полином имеет только левые корни.

Если равен нулю какой-нибудь другой из коэффициентов, то система неустойчива. Исключение система порядкаколебательная граница устойчивости.

Теорема 21.2. Для систем ипорядка положительность коэффициентов характеристического полинома является не только необходимым, но и достаточным условием асимптотической устойчивости.

Доказательство: непосредственный анализ вещественных частей характеристического полинома.

Критерии устойчивости Гурвица.

Теорема 21.3. Для асимптотической устойчивости системы с характеристическим полиномом (21.1) необходимо и достаточно, чтобы при были положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица:

Правило составления матрицы :

1. По главной диагонали выписываем коэффициенты характеристического полинома с по(коэффициенты при);

2. Заполняем строки так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами элементов.

3. Элементы с индексами большими и меньшими нуля заменяются на ноль.

Частные случаи:

меньше нельзя (смотри критерий Столье)

Вывод: смотри теорему 21.1.

Таким образом, условия критерия Гурвица для систем порядка таковы, что все коэффициентыи выполняется.

Критические случаи:

Поскольку то различают три случая:

1. 

(и остальные) апериодическая граница устойчивости.

2. 

(и остальные) колебательная граница устойчивости.

3. 

(и остальные) апериодическая граница устойчивости.