§14. Теорема Мейсена.

Назначение: Определение передаточной функции между двумя переменными структурной схемы или графа. Является альтернативой методу структурных преобразований.

Терминология:

Путь – это направленная последовательность звеньев, в которой ни одна переменная не встречается ни одного раза.

Контур – это замкнутый путь. Передача пути (контура) – произведение передач всех звеньев встречающихся на этом пути (в этом контуре), с учетом знаков в сумматорах.

Теорема 14.1. Передача связывающая входную переменную с выходнойопределяется формулой:,

где передачаго пути отк

сумма передач всех контуров

сумма произведений передач, не касающихся друг друга контуров, взятых по два.

Замечание: Говорят, что контур не касается другого или пути, если он не имеет с ним общих переменных.

сумма произведений передач, не касающихся друг друга контуров, взятых по три..

сумма передач контуров, не касающихсяго пути.

сумма произведений передач, не касающихсяго пути и друг друга, взятых по два.

сумма произведений передач, не касающихсяго пути и друг друга, взятых по три.

§15. Приближенное построение лчх параллельных соединений звеньев.

А. Согласно-параллельное соединение.

Вывод: ЧПФ согласно-параллельного соединения двух звеньев в диапазоне частот, где модуль ЧПФ одного звена значительно больше ЧПФ другого, приближено равна ЧПФ звена с большим модулем. Поэтому результирующую ЛАХ параллельного соединения можно проводить по верхним (т.е. имеющим на данной частоте большую ординату) участкам ЛАХ звеньев входящих в это соединение.

Пример 15.1.

,.

Результирующую ЛФХ можно построить по результирующей ЛАХ.

Б. Встречно-параллельное соединение.

ЧПФ встречно-параллельного соединения приблизительно равна ЧПФ с меньшим на данном интервале частот модулем. Причём вместо ЧПФ обратной связи необходимо рассматривать обратную ЧПФ. Таким образом, изображаем(ЛАХ прямой связи) и(ЛАХ симметричнаотносительно оси частот). После чего результирующую ЛАХ проводим по нижним участкам этих характеристик.

Пример 15.2.

Передаточная функция по результирующей ЛАХ: .

Точная передаточная функция по структурной схеме:

Итак, при согласном соединении ЛАХ проводим по верхним участкам и. А при встречном по нижним участками.

Предостережение: Этот метод не рекомендуется использовать, если исходные ЛАХ имеют резонансные всплески и провалы.

§16. Математические модели динамических систем в форме переменных состояния.

В отличие от статических (без инерционных) систем, динамических (инерционных) систем реакция в данный момент временизависит не только от значения входав момент, но и от начального условия, т.е. “начального состояния”, определимого всей предысторией входного воздействия на интервале.

Пусть динамическая система имеет входных переменных ивыходных, а также“внутренних” переменных.

Определение 16.1. Переменные ,переменные состояния, если задав их значения,в моменти закон изменения входных переменныхна интервалеможно однозначно определить значения; для всехв момент.

Переменные характеризуют начальное состояние системы.

Определим вектора:

вектор переменных состояния, вектор состояния.

вектор входных переменных.

вектор выходных переменных.

Определение 16.2. Множество всех значений , называется пространством состояний или фазовым пространством..

Определение 16.3. Пара событие, а множество всех таких пар.называется пространством событий.

Определение 16.4. Уравнение вида:

называются уравнениями в форме переменных состояния. Причем дифференциальные уравнения (16.1) называются уравнениями состояния, а алгебраические уравнения (16.2) – уравнения выхода.

где вектор функции:

Изобразим Детализированную Структурную Схему.

Определение 16.5. Если в уравнениях (16.3) и (16.4) правая часть не зависит от , то система называется стационарной.

Определение 16.6. Если в уравнениях (16.3) и (16.4) , то система называется свободной.

Определение 16.7. Свободная стационарная система называется автономной.

Если илинейны, то уравнения принимают вид:

Для стационарной системы матрицы постоянны.

матрица системы.

матрица входа.

матрица выхода.

матрица обхода.