§22. Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Лемма 22.1. Пусть полином в степенис вещественными коэффициентами имеющиеправых илевых корней, тогда изменение аргумента функциипри увеличенииопределяется выражением(22.1)

Критерий Найквиста для афх.

Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

передаточная функция разомкнутой системы:

прит.е. АФХ разомкнутой системы стремится к началу координат.

Передаточная функция замкнутой системы:

Рассмотрим вспомогательную функцию

характеристический полином замкнутой системы

характеристический полином разомкнутой системы

(22.2)

Пример:

Первый случай:

(разомкнутая система асимптотически устойчива);

(по предположению)

лемма

лемма

(требуется)

Это означает, что годограф вектора при увеличениине охватывает начало координат, а значит, годографне охватывает точку.

Теорема 22.1. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет только левые корни, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении не охватывала точкуили, что тоже самое (альтернативная формулировка Ципкина), разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФХ разомкнутой системы через лучравнялась нулю:.

не охватывает

Пусть Гурвицев полином (корни только левые).

Рассмотрим возможный вид АФХ при разных .

АФХ разомкнутой системы не охватываетили:следовательно, замкнутая система устойчива.

Замкнутая система находится на границе устойчивого колебательного типа.

АФХ разомкнутой системы охватываетили:следовательно, замкнутая система неустойчива.

Пусть , а АФХ разомкнутой системы имеет вид:

Легко увидеть, что замкнутая система асимптотически устойчива, но теряет устойчивость, как при увеличении, так и при уменьшении контурного коэффициента . Такая система называется условно-устойчивой.

Замечание: формулировка теоремы 22.1. сохраняет свою силу, если передаточная функция разомкнутой системы кроме левых имеет также один нулевой полюс (смотри дальше).

Второй случай:

, но имеется один или несколько нулевых полюсов передаточной функции разомкнутой системы.

Этот случай принципиально не отличается от первого, но имеет особенности изображения частотных функций.

Пусть

полюс кратности.

Пусть , тогда

АФХ разомкнутой системы не охватывает точку следовательно, замкнутая система асимптотически устойчива. Полагаем, что нулевой полюс принадлежит левой полуплоскости, тогда прискачек аргумента(поворот вектора по часовой стрелке – дуга бесконечного радиуса).

АФХ разомкнутой системы охватывает точкуили:следовательно, замкнутая система неустойчива. При изображении АФХ только длядополнение привсегда начинается на оси вещественных.

Пусть , тогда

следовательно, замкнутая система асимптотически устойчива.

При полное приращение угла равно. В то время как придополнения не играют существенной роли (и его можно не делать, если остальные полюсы левые), поскольку не влияет на охват точки. Придополнение существенно и является обязательным. При дополнении АФХ, приращение аргумента ЧПФ присоставляет(если не рассматривать отрицательных частот).

Теорема 22.2. Если передаточная функция разомкнутой системы кроме левых полюсов имеет один или несколько нулевых, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы дополненное при дугой окружности бесконечного радиуса в направлении часовой стрелки не охватывала точку, т.е. чтобы.

Третий случай:

имеется правых полюсов, а остальные левые.

, следовательно,, т.е. вектордолжен поворачиваться вокруг начала координат (а векторвокруг точкипротив часовой стрелкираз дляираз для).

Теорема 22.3. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет правых полюсов, а остальные левые, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала точкув направлении против часовой стрелкираз приираз при, или что тоже самое

Замечание: если при АФХ начинается на луче, то это соответствуетперехода через этот луч, т.е..

Теорема 22.4. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет правых полюсов, а остальные левые или нулевые, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы дополненное, в случае наличия нулевых полюсов при, дугой бесконечного радиуса в направлении часовой стрелки охватывала точку. В случае наличия левых полюсов при изменении, дугой бесконечного радиуса в направлении против часовой стрелкираз.

Замечание: В первом случае подпадает под эту формулировку .