- •§1. Основные понятия. 4
- •Вариант практической цели управления.
- •§2 Статические свойства сау. (Проблема точности). Основные принципы ау. Общая структура сау.
- •Общая структура сау.
- •§3. Классификация сау.
- •§4. Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейных систем.
- •Дифференциальное уравнение линейной непрерывной системы n-го порядка.
- •§5. Связь между входом и выходом системы во временной области.
- •§6. Передаточные функции типовых соединений звеньев.
- •§7. Частотные характеристики (чх) динамической системы.
- •Математические модели входа и выхода.
- •Физический смысл чпф.
- •§8. Частотные и временные характеристики типовых звеньев сау.
- •§9. Нетиповые и специальные звенья.
- •Неминимально-фазовые звенья
- •§10. Лах последовательно соединенных звеньев.
- •§11. Определение фазы по лах минимально-фазовой системы.
- •§12. Детализированные структурные схемы и сигнальные графы.
- •§13. Эквивалентные преобразования структурных схем линейной системы.
- •§14. Теорема Мейсена.
- •§15. Приближенное построение лчх параллельных соединений звеньев.
- •§16. Математические модели динамических систем в форме переменных состояния.
- •Запись уравнений переменных состояния по дсс.
- •§17. Линеаризация уравнений динамических систем.
- •Практические способы линеаризации.
- •§18. Передаточная матрица динамической системы.
- •§19. Управляемая каноническая форма.
- •§20. Устойчивость линейных систем.
- •Теоремы первого метода Ляпунова.
- •§21. Суждение об устойчивости линейной системы по коэффициентам характеристического полинома.
- •Критерии устойчивости Гурвица.
- •§22. Частотный критерий устойчивости Найквиста.
- •Критерий Найквиста для афх.
- •Критерий Найквиста для лчх.
- •§23. Качество сау.
- •Показатели качества переходной характеристики.
- •Частотные оценки качества.
- •Запасы устойчивости.
- •Показатель колебательности.
- •Полоса пропускания
- •Корневые оценки качества.
- •Стандартные полиномы .
- •§24. Точность сау.
- •Передаточная функция для ошибки.
- •Коэффициент ошибок.
- •Способы нахождения коэффициентов ошибок.
- •Способы определения порядка астатизма.
- •Добротность.
- •§ 25. Синтез сау.
- •Классический алгоритм синтеза.
- •Методы последовательной коррекции. Типовые последовательные ку.
- •Параллельная коррекция.
- •§26. Системы подчиненного регулирования (спр).
- •Стандартная настройка на оптимум по модулю (ом).
- •Настройка на симметричный оптимум (см).
- •Достоинства спр (систем подчиненного регулирования).
- •§27. Модальное управление.
- •Методика синтеза модального регулятора.
§4. Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейных систем.
Исходным математическим описанием (МО) системы часто является совокупность уравнений описывающих элементы системы и связи между ними.
В теории АУ используется понятие звена, под которым понимают какой-либо физический элемент системы, либо формально выделенную часть её математической модели, для которой указаны входные и выходная величина. Звено преобразует входные переменные в выходную переменную.
(ДС) – динамическая система определена как математический объект, для которого указаны входные и выходные переменные и существует однонаправленная причинно-следственная связь, это означает, что:
выход (следствие) не может появиться раньше(причина).
Текущие значения не зависят от будущих.
не могут быть изменены в последующей динамической системе.
Математическое описание (ДС) в виде связи входных и выходных переменных называется моделью “вхож выход”. К этим моделям относятся:
Передаточные функции
Операторная передаточная функция
Коэффициент передачи
Частотные характеристики
Временные характеристики:
Переходная
Весовая функция
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение линейной непрерывной системы n-го порядка.
(4.1)
n,m– натуральные числа, причём(условие реализуемости); на практике почти всегда(условие строгой реализуемости).
Введём оператор дифференцирования:
;(4.2)
Тогда
Перепишем (4.1) с учётом (4.2)
(4.3)
где полиномы от
Назовём функцию (4.4)
такую, что (4.5)
операторной передаточной функцией (ОПФ).
Выражения (4.4) и (4.5) образуют сокращенную запись дифференциального уравнения (4.3). Эта запись является условной, т.к. не определено, что понимать под операцией деления на операторный полином.
Уравнение (4.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях (ННУ)
,
полином от, то, поэтому из (4.1) получаем:
(4.6)
Тогда передаточная функция:
(4.7)
равна (4.8)
Из сравнения (4.4) и (4.8) получаем (4.9)
Вывод: Передаточная функция может быть найдена по ОПФ при помощи формальной замены на. В дальнейшем будем использовать универсальную форму записи
§5. Связь между входом и выходом системы во временной области.
Выход может быть найден по известному входуи начальному условиюаналитически следующими способами непосредственными решениями дифференциального уравнения (4.1)
Методами операционного исчисления (при ННУ)
где
Нахождение
по таблице
по формуле разложения Хевинга
с помощью интеграла свёртки:
если изображение представляет собой произведение то оригинал может быть найден как:(5.1)
где называется весовой функцией. Оба интеграла в (5.1) называются свёрткой функцийи.
Рассмотрим единичную ступенчатую функцию (5.2)
(5.3)
Формально заменим на. Тогдапри(5.4)
Рассмотрим функцию
(5.5)
причём (5.6)
Основное свойство функции:
(5.7)
Рассмотрим реакцию системы на функцию при ННУ. Пустьтогдапо (5.1, 2-ой интеграл)
Вывод: Реакция системы на функцию при (ННУ) совпадает с весовой функцией. Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при (ННУ) – называется переходной характеристикой (ПХ) или переходной функцией (ht). Пусть
(5.1, 1-й интеграл)(5.8)
Отсюда (5.9)
Реакция системы при (ННУ) на функцию:
на ;
на произвольное : см. (5.1).