§6. Передаточные функции типовых соединений звеньев.

Существует три типовых соединения звеньев.

А. Последовательное соединение.

схема 1.

Эквивалентная схема:

схема 2.

По схеме 1:

По схеме 2:

Передаточная функция последовательного соединения звеньев может быть найдена как произведение всех звеньев соединения.

Б. Параллельное соединение (согласно параллельное)

(6.2)

Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций звеньев образующие это соединение.

В. Соединения с обратной связью (встречно параллельное).

(6.3)

“+” – относится к отрицательной обратной связи.

“-” – относится к положительной обратной связи.

передаточная функция прямой связи (от выхода сумматора к выходу соединения).

передаточная функция обратной связи (от выхода соединения к сумматору и к точке приложения внешнего воздействия).

Выражения называется передаточной функцией разомкнутой системы (контур передаточной функции).

§7. Частотные характеристики (чх) динамической системы.

Динамическая система описывается дифференциальным уравнением:

(7.1)

вынужденная составляющая реакции на входящее воздействиеназывается установившейся реакцией.

Если система устойчива, то (7.2)

Найти можно по формуле:

(7.3)

Пример:

Пусть входное воздействие гармоническое, а дифференциальное уравнение имеет вид

Решение:

(*)

Из (*) получаем

причём

Вывод: установившаяся реакция системы на гармоническое воздействие есть гармоническая функция той же частоты. Аналогично реакция наесть, поэтому установившаяся реакция на воздействиеесть.

Теорема 7.1. Если система устойчива в смысле выполнения неравенства

(7.4)

где то установившаяся реакция на гармоническое воздействиеесть гармоническая функция той же частотыно в общем случае другой амплитуды с фазовым сдвигом относительно входной функции, причём

(7.5)

а (7.6)

Доказательство:

(7.7)

Поскольку то выражение [в (7.7)]

есть(оно представляет собой преобразование Фурье функции:).

Поскольку то (7.7) принимает вид:

отсюдачто и требовалось доказать.

Функция называется частотной передаточной функцией (ЧПФ). Другие частотные характеристики:

АЧХ

ФЧХ

ВЧХ

МЧХ

Математические модели входа и выхода.

1. Дифференциальное уравнение в классической или операторной форме.

2. ПФ

3. ОПФ

4. ЧПФ и другие ЧХ

5. ВФ

6. ПХ

7. Коэффициент передачи . Определяется:

• если это выражение имеет смысл. (Пример:коэффициент передачи отсутствует).

• Отношение установившейся реакции асимптотически устойчивой системы на постоянное воздействиек этому воздействию:

Физический смысл чпф.

ЧПФ – частотная передаточная функция: характеризует поведение динамической системы в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии и представляет собой комплексную функцию, модуль которой на каждой данной частоте есть отношение амплитуд выходной и входной гармоник, а аргумент равен фазовому сдвигу всех гармоник относительно входной (смотри теорему (7.1).

§8. Частотные и временные характеристики типовых звеньев сау.

1. Пропорциональное звено

для всех.

2. Интегрирующее звено:

Пусть не ПФ, а ОПР. Пусть размерности входа и выхода совпадаютно

Поэтому называется постоянной времени.

ДУ.

Пусть

Пусть (ННУ)

Физический смысл постоянной времени интегрирующего звена – она числено, равна времени, по достижении которого значение реакции этого звена на постоянное входное воздействие становится равным этому воздействию.

Пусть ПХ

(8.1)

Согласно (8.1) .

ЛАХ интегрирующего звена – прямая.

Определим перепад:

перепад ЛАХ на одну декаду.

.

Следовательно, коэффициент наклона ЛАХ(условно:).

Характерные точки ЛАХ согласно (8.1).

1.

2.

АФХ:

• Обобщенное интегрирующее звено го порядка.

(8.3)

самостоятельно представить в показательной форме (учесть, что). Получить выражение дляи.

3. Дифференцирующее звено.

Характерные точки для построения ЛАХ – формально те же, что и для интегрирующего звена (смотри (8.2)).

• Обобщенное дифференциальное звено.

4. Апериодическое звено.

постоянная времени, константа, имеющая размерность времени.

Дифференциальные уравнения:

Весовая характеристика.

Для получения АФХ необходимо ЧПФ представить в алгебраической форме (комплексной форме)

0	1	0
	0.5
	0	0

АФХ

Для получения выражений ЛЧХ в ЧПФ надо выделить модуль и аргумент (представить в показательной форме).

(8.4)

(8.5)

(8.6)

Вместо точной ЛАХ описываемой выражением (8.5) будем рассматривать асимптотическую ЛАХ. Она состоит из двух асимптот: низко-частотной и высоко-частотной.

• (совпадает с осью частот);

• (совпадает с ЛАХ интегрирующего звена с постоянной времени).

Асимптоты истремятся ви соединяются в точке имеющей абсциссусопрягающая частота. Действительно,.

5. Форсирующее звено.

ЛАХ и ЛФХ этого звена являются зеркальным отображением ЛЧХ апериодического звена относительно оси частот.

6. Форсирующее звено второго порядка.

Передаточная функция имеет два вещественных полюса, поэтому ПХ имеет периодический характер.

7. Колебательное звено

,

Полюсы передаточной функции комплексно сопряженные числа, поэтому ПХ характеристика имеет вид колебательного процесса.

ЧПФ:

(8.7)

совпадает с апериодическим звеном второго порядка.

Сопрягающая частота

А

Im

ФХ:

Если дана передаточная функция звена второго порядка в общем виде , то для определения типа звена можно использовать два способа:

1. Найти корни знаменателя, если они вещественны, то это апериодическое звено второго порядка. Если комплексные корни, то это колебательное звено.

2. Представить эту передаточную функцию к стандартной форме передаточного звена. Если апериодическое звено второго порядка. Есликолебательное звено.

8. Консервативное звено.

,

АФХ:

Re

ЛЧХ: