59

Вариант 1

1. Четыре студента садятся в поезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый студент с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения студентов в поезде.

2. В ящике 20 шариков, помеченных номерами 1,2, …20. Из ящика наудачу извлечены 5 шариков. Найти вероятность того, что среди них окажется шарик с номером 3.

3. Стрелок произвёл четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причём вероятность попадания в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена три раза.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1,2,3,…), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0,5.

5. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдёт упрощённый контроль. Взятое изделие прошло упрощённый контроль, найти вероятность, того что оно стандартное.

6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 0,3. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий?

7. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550.

8. У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется).

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

а) заполнить пустую клетку таблицы, и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое откло­нение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины

X	– 4	0	1	2
P	0,1	0,5	0,2

10. Дана плотность вероятности случайной величины X. Найти

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание MX, дисперсию и среднее квадратическое откло­нение данной случайной величины;

г) P(X>MX);

д) построить графики и

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид

Найти:

а) MX;

б) среднее квадратическое откло­нение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

Найти:

а) значение числа d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания M(X) и M(Y);

г) дисперсии D(X) и D(Y), среднеквадратические отклонения .

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

X\Y	– 4	0	2
1	0,1	0,2	d
2	0,05	0,12	0,15

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины где

Найти:

а) значение числа C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания M(X) и M(Y);

г) дисперсии D(X) и D(Y), среднеквадратические отклонения .

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

Вариант 2

1. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 6, 9, 7 если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной кости выпадет 5 очков; б) сумма выпавших очков не превосходит 6.

3. Из букв А, А, И, Л, М, Н разрезной азбуки выбирают наудачу по одной букве и ставят в ряд. Найти вероятность того, что получится слово МАЛИНА.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1,2,3,…), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0,5.

5. По статистическим данным в конкретном регионе подозреваемый в тяжком преступлении виновен с вероятностью 0,95. Виновный осуждается с вероятностью 0,9. Невиновный ошибочно осуждается с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что арестованный подозреваемый будет осуждён. Найти вероятность того, что осуждённый действительно виновен.

6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 0,4. Производится пять выстрелов. Какова вероятность не менее двух попаданий?

7. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие появится не менее 104 раз, если вероятность его наступления в каждом независимом испытании равна 0,2.

8. Испытываются три прибора на надёжность. Вероятности выхода из строя каждого прибора соответственно равны 0.1, 0.2, 0.3. Пусть X – число вышедших из строя приборов. Составить таблицу распределения случайной величины X.

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

а) заполнить пустую клетку таблицы, и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое откло­нение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины

X	– 2	0	3	4
P	0,1	0,6	0,2

10. Дана плотность вероятности случайной величины X. Найти

а) значение параметра C;

б) функцию распределения вероятности ;

в) математическое ожидание MX, дисперсию и среднее квадратическое откло­нение данной случайной величины;

г) P(X>MX);

д) построить графики и

11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид

Найти:

а) MX;

б) среднее квадратическое откло­нение ;

в) значение коэффициента А;

г) ;

д) .

12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.

Найти:

а) значение числа d;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания M(X) и M(Y);

г) дисперсии D(X) и D(Y), среднеквадратические отклонения .

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

X\Y	– 1	0	1
-1	0,08	0,02	d
2	0,3	0,05	0,15

13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины где

Найти:

а) значение числа C;

б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;

в) математические ожидания M(X) и M(Y);

г) дисперсии D(X) и D(Y), среднеквадратические отклонения .

д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;

е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

Вариант 3

1. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 12 спортсменов?

2. В десятиэтажном доме лифт может останавливаться на девяти этажах, начиная со второго. В лифт вошли три пассажира, каждый из которых с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже. Найти вероятность того, что пассажиры выйдут на разных этажах.

3. В коробках находятся детали: в первой – 20, из них 13 стандартных; во второй – 30, из них 26 стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся нестандартными; б) одна деталь нестандартная; в) обе детали стандартные.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1,2,3,…), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0,5.

5. В норе сидят 6 мышей и 9 крыс. Одно из животных выбегает из норы. Вероятность того, что кот поймает мышь, равна 0,8, крысу 0,4. Найти вероятность того, что выбежавший грызун будет пойман. Какова вероятность, что из норы выскочила мышь, если известно, что кот поймал грызуна?

6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равно 0,5. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание в цель?

7. Монета подбрасывается 2010 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 1000 раз.

8. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при втором – 0.7, при третьем – 0.8. Стрельба по цели ведётся до получения одного попадания, но производится не более трёх выстрелов. Найти ряд распределения случайной величины X – числа выстрелов.