3. Розрахункове завдання №2

Тема: розрахунок логістичної функції попиту на товари тривалого користування.

Мета: надбання навичок розрахунку логістичної функції попиту на товари тривалого користування.

1. Основні теоретичні положення

В економетрії попит на товари тривалого користування (холодильники, телевізори, пилососи і т.п.) описується логістичною регресією

, (1)

де y_t - попит на товар у момент часу t;

А, а, с – коефіцієнти рівняння.

У початковий момент часу (t=1) попит дорівнює при y=A. Таким чином, А – максимально можливий рівень попиту на товар. Цей попит пояснюється заміщенням товару, який відпрацював визначений термін, при відсутності нових споживачів цього виду товару.

Логістична функція є розв’язанням диференціального рівняння Бернуллі

,

де k - коефіцієнт пропорційності.

Для розв’язання диференційного рівняння Бернуллі застосуємо метод кінцевих різниць.

Нехай на основі статистичної інформації отриманий такий ряд динаміки попиту

t	1	2	3	4	…	n
yt	y1	y2	y3	y4	…	yn

У кінцевих різницях диференційне рівняння має вигляд

y=k*y*(A-y)*t.

З таблиці вихідних даних видно, що t=1, отже

y_t=k*A*y_t-k*y_t².

Позначимо k*A=a, тоді

y_t = a*y_t-k*y_t²,

де y=y_t-y_t-1.

Параметри а і k знайдемо методом найменших квадратів.

Критерій найменших квадратів

.

Мінімізуючи критерій, приходимо до системи нормальних рівнянь

. (2)

Параметри a і k знаходимо з розвзання цієї системи рівнянь.

Граничний попит на товар розраховується за формулою

А=а/k. (3)

У вихідному логістичному рівнянні залишається невідомим коефіцієнт с, який можна знайти за умови , таким чином

. (4)

2. Завдання

З 1989 р. ДМЗ випускає холодильники «Дніпро-2М».

Служба збуту заводу контролювала попит на них, на підставі чого регулювала випуск так, щоб ринок був насичений холодильниками у відповідності до попиту. Дані про випуск холодильників наведені в табл. 1 (передбачається, що попит відповідає рівню випуску).

Таблиця 1

Випуск холодильників у 1990-1998 р.р.

Роки	Умовний час, t	Випуск холодильників, yt, од.
1990	1	20000+100*N
1991	2	24000+100*N
1992	3	27500+100*N
1993	4	30000+100*N
1994	5	33000+100*N
1995	6	34000+100*N
1996	7	36000+100*N
1997	8	37000+100*N
1998	9	37500+100*N

Розрахувати параметри логістичної кривої попиту на холодильники. Побудувати графік фактичних та теоретичних даних, визначити період стабілізації попиту.