Методы экстраполяции и корреляционно-регрессионного анализа

Для анализа распространения динамики социально-экономических процессов, сложившейся за предшествующие периоды, на текущее время и на перспективу широко используется экстраполяция. Она позволяет простейшим способом обозначить тенденцию изменения социально-экономических процессов и явлений во времени, вывести их тренд.

Основу экстраполяционных методов анализа составляет изучение временных рядов, представляющих собой упорядоченные во времени наборы измерений тех или иных характеристик исследуемого объекта.

Использование экстраполяции в анализе имеет в своей основе предположение о том, что рассматриваемый процесс изменения переменной представляет собой сочетание двух составляющих: x_t – регулярной (детерминированная случайная) и s_t – случайной. Временной ряд y_t, может быть представлен в следующем виде: y_t = x_t + s_t.

Регулярная составляющая называется трендом, тенденцией. Под этими терминами лежит интуитивное представление о какой-то очищенной от помех сущности анализируемого процесса (интуитивное потому, что в большинстве процессов невозможно однозначно отделить тренд от случайно составляющей). Регулярная составляющая (тренд) x_t характеризует существующую динамику развития процесса в целом, случайная составляющая s_t отражает случайные колебания, или шумы процесса. Обе они определяются каким-либо функциональным механизмом, характеризующим их поведение во времени.

Задача анализа состоит в определении вида экстраполирующих функций x_t и s_t на основе исходных эмпирических данных и параметров выбранной функции. Первым этапом является выбор оптимального вида функции, дающей наилучшее описание тренда.

Следующим этапом является расчет параметров выбранной экстраполяционной функции.

При оценке параметров зависимостей наиболее распространенными методами являются: метод наименьших квадратов и его модификации, экспоненциального сглаживания, адаптивного сглаживания, скользящей средней и др.

Сущность метода наименьших квадратов (МНК) состоит в отыскании параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда, т.е. в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами.

,

где y_i – расчетные значения исходного ряда;

y_j – фактическое значение исходного ряда;

n – число наблюдений.

Модель тренда может иметь различный вид. Ее выбор в каждом конкретном случае осуществляется по целому ряду статистических критериев, то наибольшее распространение в практических исследованиях получили следующие функции:

у = ах + в (линейная);

у = ах² + вx+ c (квадратичная);

у = хⁿ (степенная);

у = а^х (показательная);

у = аe^х (экспоненциальная);

(логистическая).

Особенно широко применяется линейная, или линеаризуемая, т.е. сводимая к линейной, форма, как наиболее простая и в достаточной степени удовлетворяющая исходным данным.

Классический метод наименьших квадратов предполагает равноценность исходной информации в модели. В реальной практике будущее поведение процесса в большей степени определяется поздними наблюдениями, чем ранними. Уменьшение ценности более ранней информации (дисконтирование) можно учесть путем, например, введения в модель (1) некоторых весов β_i<1. Тогда:

Форма представления коэффициента может быть различной (числовая форма, функциональная зависимость), но должна быть представлена таким образом, чтобы по мере продвижения в прошлое веса убывали. Для этого используются различные модификации метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов широко применяется в силу его простоты и возможности реализации на ЭВМ.

Недостаток метода состоит в том, что модель тренда жестко фиксируется, что делает возможным его применение только при небольших периодах упреждения.

Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Это позволяет оценить параметры модели, описывающей тенденцию, которая сформировалась в конце базисного периода, и тем самым не просто экстраполирует действующие зависимости в будущее, а приспосабливается к изменяющимся во времени условиям (адаптируется). Преимущества метода состоят в том, что он не требует обширной информационной базы и предполагает ее интенсивный анализ с точки зрения информационной ценности различных членов временной последовательности. Модели, которые описывают динамику показателя, имеют простую математическую формулировку, а адаптивная эволюция параметров позволяет отразить неоднородность и текучесть свойств временного ряда.

Метод скользящей средней дает возможность выравнивать динамический ряд путем его расчленения на равные части с обязательным совпадением в каждой из них сумм модельных и эмпирических значений.

К методам экстраполяции относится также метод, получивший название «цепи Маркова». В основе анализа, построенного на основе простых цепей Маркова, лежит вычисление матрицы перехода, элементами которой являются вероятности перехода параметров из одного состояния в другое, от одного значения к другому.

Если мы имеем , т.е. матрицу показателей соразмерности (n*t), где A_it – значение i-го показателя в момент времени t, и если известна матрица перехода , то величина анализируемого показателя вычисляется следующим образом:

,

где A_t – вектор значений прогнозируемых показателей в момент t.

Процедура вычисления элементов матрицы перехода:

предполагает определение суммарных изменений показателей А_it для каждого момента времени t, т.е.:

(Например, если мы прогнозируем потребности, то это и будет являться суммарной потребностью ресурсов по годам).

Затем определяем значения цепных индексов для величин:

.

На основе цепных индексов определяем возможные значения показателей при неизменности структуры в моменты (t+1):

, т.е. индекс умножаем на значение этого показателя в соответствующий момент (t+1).

Элементы S_it образуют матрицу размерности (n*T). Рассогласование между реальным изменением показателей A_it и гипотетическим S_it находим как разность: ∆q_{i, t+1} = A_{i, t + 1} – S_it.

Эти величины рассогласования определяют изменение структуры исследуемого процесса (если рассматривается потребление, то структуры потребления ресурсов) и представляют собой образующий вектор:

∆q_{i, t+1} = (∆q_t+1) = ∆q_{1, t+1} ,…, ∆q_{n, t+1}.

Затем образуется нормированный вектор, который определяет относительное изменение значения i-го показателя в (t+1) году по сравнению с t-м годом. Определяется он по формуле:

.

.

Полученные величины позволяют формировать i-ю строку матрицы соответствующего перехода P_t+1.

По аналогичной схеме рассчитываются последовательно матрицы перехода для различных моментов времени.

Анализ, осуществляемый с помощью цепей Маркова, позволяет по мере поступления новой информации регулярно корректировать ошибки, учитывать информационные неточности, что значительно повышает надежность получаемых результатов.

Этот метод может быть использован для множества показателей, которые меняются из года в год одновременно, но непосредственно функциональные связи между ними не установлены ввиду отсутствия информации или крайней сложности последних.

С помощью методов экстраполяции исследуются количественные параметры больших систем, количественные характеристики экономического, научного, производственного потенциала, данные о результативности научно-технического прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков и т.д.

Корреляционно-регрессионный метод является одним из наиболее широко распространенных на практике экономико-математических методов анализа.

В рамках данного метода появляется возможность выявить и количественно исследовать влияние разнообразных факторов на уровень параметра, характеризующего социально-экономическое явление или процесс, отделить мнимые связи от действительных, и в математической форме (через уравнение регрессии) выразить эту связь и раскрыть действие факторов на данный параметр.

Корреляционно-регрессионный метод решает две основные задачи:

• устанавливает степень связи между анализируемым параметром и влияющими на него факторами (фактором);

• определяет с помощью уравнений регрессии форму связи между анализируемым параметром и влияющими на него факторами (фактором).

Степень тесноты связи между параметром и каждым отдельно взятым фактором показывает парный коэффициент корреляции (r), а совокупное влияние отобранных факторов на исследуемый параметр – множественный коэффициент корреляции (R).

Парный коэффициент корреляции может выступать как один из критериев отбора факторов. Его величина может колебаться от -1 до 1, и чем выше значение r, тем теснее связь между переменными (параметром и фактором).

Мера совместного воздействия всех факторов на уровень параметра определяется на основе коэффициента множественной корреляции. При этом, чем больше совокупное влияние отобранных факторов, тем ближе множественный коэффициент корреляции к единице.

Форму связи между параметром (у) и влияющими на него факторами (x₁, x₂, x_n) выражает уравнение регрессии. Форма связи бывает линейной и криволинейной.

Линейная форма корреляционной связи может быть выражена следующими уравнениями:

y_x = a + bx;

y_x = a + b₁x₁ + b₂x₂ + … + b_nx_n,

где    y_x – значение у при заданном значении x или (x, х₁, … x_n);

a, b, b₁ … b_n – параметры уравнения;

x, x₁ … x_n – значения фактора.

Параметр «а» определяет положение начальной точки линии регрессии в системе координат. Параметры «b» и «b₁ … b_n» характеризуют норму изменения y на единицу x, x₁ … x_n.

Уравнение линейной регрессии имеет широкое применение, так как его параметры легче определить и истолковать. Но на практике чаще встречается нелинейная корреляционная зависимость, которая может быть представлена через уравнения различных типов кривых: гиперболическую форму связи (y_x=a/x+b), параболу второго порядка (y_x=a+a₁x₁+a₂x²) и др.

Чем лучше уравнение регрессии описывает процесс, тем ближе значение коэффициента корреляции к единице.

Следует отметить, что корреляционно-регрессионный анализ, опираясь на солидный математический аппарат, может дать реальный результат только тогда, когда исходит из правильных экономических предпосылок и обеспечивает правильное описание социально-экономических явлений и процессов, правильное определение их признаков, основных и побочных факторов, объективно существующих количественных соотношений.