1.4. О проекциях плоских углов. Теорема о частном случае проецирования прямого угла.

Отметим два очевидных предельных случая проецирования плоских углов. Если плоскость угла параллельна плоскости проекций, то любой угол проецируется без искажения. Если плоскость угла перпендикулярна к плоскости проекций, то угол проецируется в прямую. В промежутке между этими предельными положениями в зависимости от расположения сторон угла относительно плоскостей проекций любой угол может проецироваться в любой: острый угол может проецироваться в острый и тупой, а тупой угол – в тупой и острый. И лишь один из углов, а именно прямой угол, обладает чрезвычайно важной особенностью проецирования.

Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций, а хотя бы одна из сторон угла параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в виде прямого же угла.

Рис. 1.12

Пусть угол АВС = 90⁰, а сторона ВС параллельна плоскости проекций Р (рис. 1.12 а). Выясним, чему равна его проекция a_pb_pc_p?

Рассмотрим взаимное положение стороны ВС и плоскости Q, задаваемой стороной АВ и проецирующей прямой Bb_p. [BC) (AB] по условию, и [BC)[Bb_p], поскольку [BC)Р, а [Bb_p]P. Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости [BC)Q.

Сторона [BC) и ее проекция [b_pc_p) лежат в одной плоскости, определяемой лучом [BC) и проецирующей прямой [Bb_p]. При этом [ВС)P. Поэтому [BС) [b_pc_p). Следовательно [b_pc_p)Q. Но, если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, и, в частности, [b_pc_p) (a_pb_p], т.е. угол a_pb_pc_p = 90⁰.

Наряду с формулировкой теоремы, приведенной выше, используют и другую формулировку.

Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол на эту плоскость проецируется в виде прямого же угла.

Пример изображения проекций прямого угла приведен на рис. 1.12 б. Поскольку сторона ВС параллельна горизонтальной плоскости проекций ([b'c') x), а горизонтальная проекция abc представляет собой прямой угол, следует заключить, что и угол АВС = 90⁰.

1.5. Плоскость

Способы задания плоскости в пространстве и на чертеже

Положение плоскости в пространстве, как известно, может быть определено:

- тремя точками, не лежащими на одной прямой;

- прямой и точкой, не лежащей на прямой;

- двумя параллельными прямыми;

- двумя пересекающимися прямыми.

Соответственно на чертеже должны присутствовать проекции этих геометрических образов. На рис. 1.13 а плоскость задана точками А, В и С, на рис. 1.13 6 – прямой АВ и точкой С, на рис. 1.13 в – параллельными прямыми АВ и CD, на рис. 1.13 г – пересекающимися в точке М прямыми АВ и СМ.

Рис. 1.13

В начертательной геометрии используют еще один прием задания плоскости – задание плоскости следами.

Следы – это прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций.

На рис. 1.14 а показана плоскость Р в системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Плоскость Р пересекает плоскость Н по прямой Р_h (горизонтальный след плоскости), плоскость V – по прямой P_v (фронтальный cлед плоскости), а плоскость W – по прямой P_w (профильный след плоскости). Оси проекций пересекаются плоскостью Р в точках Р_х, P_y и P_z , называемых точками схода следов.

Рис. 1.14

При задании плоскости следами на чертеже (рис. 1.14 б) изображают прямые P_h, P_v и P_w. Особенность такого задания плоскости состоит в том, что одна из проекций следа совпадает с самим следом на соответствующей плоскости проекций, а другие проекции следа совпадают с осями проекций и на чертеже не изображаются. Так горизонтальная проекция следа P_h совпадает с горизонтальным следом плоскости Р, фронтальная проекция следа совпадает с осью Ox а профильная проекция – с осью Оy. Фронтальная проекция следа P_v совпадает с самим следом, горизонтальная проекция следа P_v совпадает с оcью Ох, а профильная проекция – с осью Oz. Профильный след P_w плоскости имеет лишь своеобразную профильную проекцию (которая и изображена на чертеже), горизонтальная проекция следа совпадает с осью Oy, а фронтальная – с осью Oz.

При выполнении чертежей реальных предметов плоские поверхности ограничиваются плоскими многоугольниками – треугольниками, параллелограммами, прямоугольниками и др.