Примеры цилиндрических и конических поверхностей

Примерами линейчатых поверхностей являются цилиндрические и конические поверхности.

Цилиндрические поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей, во всех своих положениях сохраняющей параллельность некоторой заданной прямой и проходящей через все точки некоторой кривой направляющей линии.

Цилиндрические поверхности различают по виду кривой линии, которая получается при пересечении поверхности плоскостью, перпендикулярной к образующим. Если при таком пересечении получается кривая второго порядка, то и цилиндрическая поверхность относится к числу поверхностей второго порядка. Такой цилиндр может быть параболическим, гиперболическим или эллиптическим.

Е сли при изображении эллиптического цилиндра на чертеже присутствует круговое сечение, то такой цилиндр чаще называют наклонным круговым (рис. 1.38).

Обратим внимание на проекции образующих, ограничивающих изображение цилиндра на фронтальной и горизонтальной проекциях. Эти образующие ограничивают видимые части цилиндрической поверхности, но не находятся в проекционной связи. На горизонтальной проекции видимая часть поверхности ограничивается образующими 1⁰1⁰₁ и 2⁰2⁰₁. Для построения фронтальной проекции образующей 1⁰1⁰₁ необходимо определить вначале точку касания горизонтальной проекции 1-1₁ к проекции окружности нижнего основания (для чего из центра окружности надо опустить перпендикуляр на проекцию очерковой образующей), затем найти фронтальную проекцию 1' и провести прямую 1'1'₁ параллельно фронтальным проекциям образующих цилиндрической поверхности. Аналогично выстраиваются проекции образующей 2⁰2⁰₁. Для построения горизонтальных проекций образующих 3⁰3⁰₁ и 4⁰4⁰₁, ограничивающих видимую часть цилиндрической поверхности на фронтальной проекции, следует учесть проекционную связь точек 3' и 3, 4' и 4, а также взаимную параллельность всех образующих.

При построении недостающей проекции точки, принадлежащей поверхности, следует руководствоваться признаком принадлежности точки поверхности: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на поверхности.

Пусть задана фронтальная проекция a’ точки А, и требуется построить ее горизонтальную проекцию. Проведем через точку А образующую. Поскольку все образующие цилиндрической поверхности параллельны между собой, то фронтальная проекция образующей будет проходить через точку a’ параллельно проекции любой из изображенных на чертеже образующих, например, 3'3'₁. Все образующие пересекают направляющую окружность основания, поэтому 5' – фронтальная проекция точки 5⁰ пересечения образующей с направляющей. Построив горизонтальную проекцию 5 этой точки, проведем горизонтальную проекцию образующей параллельно 3-3₁. Горизонтальная проекция a точки А лежит на горизонтальной проекции образующей. Поскольку точка А задана на фронтальной проекции невидимой, то невидима и проведенная через нее образующая А5⁰. На горизонтальной проекции образующая А5⁰ и принадлежащая ей точка А располагаются на видимой части цилиндрической поверхности.

Коническая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей, во всех своих положениях проходящей через некоторую неподвижную точку (вершину) и все точки кривой направляющей линии.

Если линия, которая получается при пересечении конической поверхности плоскостью, не проходящей через вершину, является кривой второго порядка (эллипсом, окружностью, параболой, гиперболой), то и коническая поверхность представляет собой поверхность второго порядка. Каждая из названных линий может быть принята в качестве направляющей конической поверхности.

Если направляющая конической поверхности представляет собой окружность, и проекции ее присутствуют на чертеже, то такой конус обычно называют круговым. На рис. 1.39 изображены проекции наклонного кругового конуса. В отличие от прямого кругового конуса, вершина S наклонного конуса не лежит на прямой, проходящей через центр окружности основания и перпендикулярной к плоскости основания. Крайние (очерковые) образующие конической поверхности определяют видимые части поверхности на соответствующих проекциях. Так видимая часть конической поверхности на горизонтальной проекции ограничивается образующими S1⁰ и S2⁰. Для определения горизонтальной проекций s1 необходимо определить вначале точку 1 касания проекции образующей к проекции окружности основания (для чего опустить из центра окружности основания перпендикуляр на проекцию образующей), построить фронтальную проекцию 1' и соединить ее прямой с проекцией s' вершины. Аналогичные построения позволяют определить проекции образующей S2⁰. Видимость конической поверхности на фронтальной проекции ограничивается образующими S3⁰ и S4⁰. Фронтальные проекции s'3' и s'4' этих образующих очевидны, а для построения горизонтальных проекций s3 и s4 следует учесть проекционную связь точек 3' и 4’.

П усть задана фронтальная проекция a’ точки А, и необходимо построить горизонтальную проекцию этой точки. Руководствуясь признаком принадлежности точки поверхности (см. выше), мысленно проведем через точку А образующую SA конической поверхности. Фронтальная проекция этой образующей должна пройти через точки s' и a’. Все образующие конической поверхности пересекают направляющую окружность основания, поэтому точка 5' – фронтальная проекция точки пересечения проведенной образующей с направляющей. Построив горизонтальную проекцию 5, определим проекцию s5 проведенной образующей. Горизонтальная проекция a располагается на горизонтальной проекции образующей.

Поскольку сечения конуса плоскостями, параллельными основанию, представляют собой окружности, то для построения недостающей горизонтальной проекции точки можно использовать окружность. Фронтальная проекция окружности, проведенной через точку А, представляет собой отрезок прямой, проходящей через a’ и параллельной проекции основания конуса. Центр О такой окружности располагается на оси конуса, а радиус без искажения проецируется на фронтальной проекции как отрезок от o’ до очерковой образующей. Построив горизонтальную проекцию окружности, можно найти проекцию a.