1.6. Способы преобразования чертежа

Из рассмотрения особенностей проецирования прямых и плоскостей, находящихся в общем и частном положении относительно плоскостей проекций, а также приемов решения задач, в которых присутствуют эти геометрические объекты, следует сделать вывод, что частное положение прямых или плоскостей является предпочтительным. Например, отрезки прямой, параллельной какой-либо плоскости проекций, проецируются на нее в натуральную величину, можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций. Если плоскость занимает проецирующее положение, то легко определяются точки пересечения прямой с этой плоскостью, линия пересечения двух плоскостей, углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

Общей целью способов преобразования чертежа является переход от общего положения геометрического объекта – к частному, необходимому для решения геометрических задач.

Количество способов преобразования чертежа достаточно велико. Здесь рассматриваются лишь два из них.

Существо одного из способов преобразования состоит в том, что частное положение геометрического объекта относительно некоторой системы плоскостей проекций достигается изменением системы плоскостей проекций, при этом сам геометрический объект остается в пространстве неподвижным. Такой прием носит название способа перемены плоскостей проекций.

Суть другого способа преобразования состоит в том, что частное положение геометрического объекта достигается изменением положения этого объекта путем вращения в неизменной (существующей) системе плоскостей проекций. Такой способ преобразования носит название способа вращения.

Способ перемены плоскостей проекций

Способ перемены плоскостей проекций может осуществляться только при двух обязательных условиях:

а) преобразования чертежа должны обладать непрерывностью, т.е. каждая последующая система плоскостей проекций должна быть связана с предыдущей.

б) геометрический объект при всех преобразованиях должен находиться в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций;

Эти два условия с необходимостью приводят к выполнению следующего правила: при изменении системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций можно заменять только одну из плоскостей, оставляя другую плоскость проекций неизменной, при этом новая плоскость должна вводиться перпендикулярно к остающейся.

Пусть в системе V,H (рис. 1.24 а) заданы проекции точки А, и по каким-то причинам необходимо ввести новую плоскость S, вместо плоскости V. Плоскость S следует ввести перпендикулярно к плоскости Н, образовав таким образом новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций – систему H,S. Выполненные действия можно коротко записать в такой форме: V,H  H,S; SH. Для того, чтобы получить проекцию точки А на плоскость S, необходимо осуществить ортогональное проецирование: из точки А провести проецирующий луч перпендикулярно к плоскости S, и там, где этот луч пересечет плоскость S, будем иметь проекцию a_s точки А на плоскость S. Проекции a_s и a точки А в системе H,S будут связаны между собой теми же закономерностями, что и проекции a’ и a в системе V,H, в частности, проекции a_s и a располагаются на прямых перпендикулярных к новой оси x₁ и пересекающих ее в одной и той же точке a_x1. Отрезок a_sa_x1, показывающий удаление точки А от плоскости Н, равен отрезку a’a_x (a_sa_x1= a'a_x).

Рис. 1.24

Для того, чтобы получить чертеж (плоское изображение), необходимо плоскости H и S совместить с плоскостью V (рис. 1.24 б). Плоскость Н (вместе с плоскостью S) следует повернуть вокруг оси x, опуская переднюю полуплоскость, а затем повернуть плоскость S вокруг оси x₁, как показано на рисунке. При этом отрезки aa_x1 и a_x1a_s образуют линию связи, перпендикулярную к новой оси x₁.

На рис. 1.25 показан чертеж при осуществлении перемены плоскостей. Обычно выбор новой системы плоскостей проекций производят, исходя из условий решаемой задачи. Для демонстрации необходимых построений на рис. 1.25 этот выбор сделан произвольно.

Пусть заданы проекции a и a’ точки в системе V,H, и требуется перейти к новой системе плоскостей проекций H,S (и, следовательно, построить недостающую проекцию точки А в новой системе).

Для этого на чертеже проводят новую ось H/S (ось x₁), из точки a перпендикулярно к новой оси строят линию связи и от точки a_x1 ее пересечения с осью H/S откладывают отрезок равный a_xa’ (a'a_x=a_x1a_s) Получают проекцию a_s точки А на плоскость S.

Если требуется провести замену плоскостей проекций, и перейти от системы V,H к системе V,T, введя ТV, то на чертеже проводят новую ось V/T (ось x₂₎, из точки a’ перпендикулярно к новой оси строят линию связи, и от точки a_x2 ее пересечения с осью V/T откладывают отрезок равный a_xa (aa_x=a_x2a_t). Получают проекцию a_t точки А на плоскость Т.

Для того, чтобы не ошибаться при построении новых проекций точек, целесообразно запомнить: при построении проекций точек на вводимую плоскость всегда откладывают отрезки линий связей с той плоскости, которую заменяют.

Рассмотрим применение способа перемены плоскостей проекций для решения некоторых задач.

П усть в системе V,H (рис. 1.26) заданы проекции отрезка АВ прямой общего положения, и требуется определить натуральную величину отрезка и углы наклона прямой к плоскостям проекций.

Отрезок АВ и угол наклона прямой к одной из плоскостей проекций будут проецироваться без искажения, если в новой системе плоскостей проекций заданная прямая окажется в частном положении – будет параллельна новой плоскости проекций. Поэтому от существующей системы плоскостей проекций V,H перейдем к новой системе V,T, введя плоскость ТV и T||АВ. При этом новая ось V/T должна быть проведена параллельно a'b'. Построим проекцию a_tb_t отрезка АВ на плоскость Т. Поскольку в системе плоскостей проекций V,T отрезок АВ параллелен плоскости Т, то на плоскость Т он проецируется в натуральную величину, а угол между a_tb_t и осью V/T равен углу наклона отрезка АВ к плоскости V.

Для определения натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости Н следует перейти от существующей системы плоскостей проекций V,H к новой системе H,S, введя плоскость SH и S||AB. Проведем H/S ab и построим проекцию a_sb_s отрезка АВ на плоскость S. В системе плоскостей проекций H,S отрезок АВ параллелен плоскости S, поэтому отрезок проецируется на плоскость S без искажения, а угол наклона a_sb_s к оси H/S равен углу наклона прямой к плоскости Н.

Иногда для решения задачи требуется, чтобы прямая оказалась в новой системе плоскостей проекций проецирующей – перпендикулярной к одной из новых плоскостей проекций. Следует помнить, что при всех заменах необходимо соблюдать сформулированное ранее требование взаимной перпендикулярности плоскостей проекций, образующих новую систему, и потому новая плоскость должна быть введена перпендикулярно к остающейся (должна быть проецирующей в существующей системе плоскостей проекций). Если задана прямая общего положения, то ввести сразу плоскость, перпендикулярную к прямой, не представляется возможным: новая плоскость в существующей системе плоскостей проекций также будет занимать общее положение. Для того, чтобы такая замена стала возможной, заданная прямая должна быть параллельна некоторой плоскости проекций. Тогда плоскость, перпендикулярная к прямой, будет перпендикулярна и к остающейся плоскости проекций.

Если необходимо, чтобы прямая АВ (рис. 1.26) в новой системе плоскостей проекций заняла проецирующее положение, то следует воспользоваться ситуацией, создавшейся после перехода от системы V,H к системе H,S. Прямая АВ параллельна плоскости S, и, если ввести плоскость Q перпендикулярную к АВ, то эта плоскость будет перпендикулярна и к плоскости S – образовывать с ней новую систему S,Q двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Для построения проекции АВ на плоскость Q следует провести линию связи перпендикулярно к оси S/Q. От точки пересечения с осью отложить отрезки линий связи с заменяемой плоскости, т.е. с плоскости Н. При этой замене "старой" будет система H,S, поэтому для построения проекций a_qb_q следует брать отрезки линий связи от точек a и b до оси H/S.

Пусть требуется определить натуральную величину треугольника АВС (рис. 1.27).

С удя по тому, что горизонтальная проекция треугольника представляет собой отрезок прямой, плоскость треугольника перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Треугольник, как и любая плоская фигура, спроецируется без искажения, на плоскость, параллельную плоскости АВС. Если ввести новую плоскость S, параллельную плоскости АВС, то новая плоскость будет перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Возникает новая система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций H,S, в которой треугольник АВС без искажения проецируется на плоскость S.

Если плоскость фигуры занимает общее положение, то введение при первой же замене плоскости проекций, параллельной плоскости фигуры, оказывается невозможным: новая плоскость в системе V,H также будет занимать общее положение, чем нарушается одно из обязательных условий данного способа преобразования. Введение необходимой плоскости станет возможным, если плоскость треугольника в некоторой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Такое взаимное положение плоскости фигуры и плоскости проекций должно отвечать признаку перпендикулярности двух плоскостей – плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Конечно, можно выбрать любую прямую, принадлежащую плоскости фигуры, и путем замены плоскостей проекций добиться того, чтобы прямая стала перпендикулярной к некоторой плоскости проекций. Тогда и заданная плоскость займет проецирующее положение. Однако, как показывает предыдущий пример (см. рис. 1.26), только для приведения прямой общего положение в проецирующее положение потребуется две замены плоскостей проекций. Количество преобразований можно сократить, если в плоскости фигуры выбирать не любые прямые, а прямые параллельные плоскостям проекций, т.е. горизонтали или фронтали заданной плоскости.