Поверхности вращения

Поверхности вращения образуются путем вращения какой-либо линии вокруг неподвижной прямой – оси поверхности.

Н а рис. 1.40 показана поверхность, образованная вращением плоской кривой ABCD вокруг оси О₁О₂, перпендикулярной к плоскости Н. Поскольку каждая из точек криволинейной образующей при вращении вокруг оси описывает окружность, то и сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной к оси вращения представляет собой окружность. Вследствие того, что ось вращения на рис. 1.40 задана перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций, плоскости вращения каждой точки кривой ABCD параллельны плоскости Н. Поэтому окружности, описываемые каждой точкой, будут проецироваться на горизонтальную плоскость без искажений, а на фронтальную плоскость – в виде отрезков прямых, перпендикулярных к проекции o'₁o'₂, причем величины этих отрезков равны действительным размерам диаметров окружностей.

Окружности, возникающие при вращении каждой точки криволинейной образующей (или при пересечении поверхности плоскостью, перпендикулярной к оси, например, плоскостью Р на рис. 1.40), называют параллелями. Наибольшую параллель из рядом расположенных называют экватором, а наименьшую из рядом расположенных – горлом. Из этих определений следует, что в поверхности вращения общего вида может быть несколько экваторов и несколько горл.

Линии, которые возникают при пересечении поверхности плоскостью, проходящей через ось, например, плоскостью Q на рис. 1.40, называют меридианами, а сами плоскости – меридиональными. Из подобных плоскостей особо выделяют плоскость, параллельную фронтальной плоскости проекций (плоскость S). Такую плоскость называют плоскостью главного меридиана, а линию, которая возникает при пересечении этой плоскости с поверхностью вращения, – главным меридианом.

Если задана фронтальная проекция m' точки М, принадлежащей поверхности вращения, и необходимо построить горизонтальную проекцию m, то следует действовать, опираясь на признак принадлежности точки поверхности. Через точку М следует мысленно провести некоторую линию, принадлежащую поверхности. На поверхности вращения всегда можно провести окружность. Окружность, проходящая через точку М, будет проецироваться на плоскость V в виде отрезка, проходящего через m' и перпендикулярного к проекции о'₁o'₂ оси поверхности. Диаметр этой окружности проецируется на фронтальную плоскость без искажений. Построив горизонтальную проекцию проведенной окружности, можно найти на ней искомую проекцию m.

Цилиндр

Цилиндр вращения представляет собой алгебраическую линейчатую развертываемую поверхность второго порядка, которая получается при вращении прямой вокруг оси ей параллельной. Такую поверхность можно рассматривать как частный случай цилиндрической поверхности, при котором направляющая линия представляет окружность, а образующие перпендикулярны к плоскости этой окружности. Поэтому другое наименование цилиндра вращения – прямой круговой цилиндр.

На рис. 1.41 а представлено наглядное изображение, а на рис. 1.41 б даны проекции цилиндра вращения. Ось цилиндра О₁О₂ выбрана перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций, поэтому все образующие перпендикулярны к плоскости Н, и все множество точек поверхности проецируется на горизонтальную плоскость в виде окружности.

Рис. 1.41

Рассматривая цилиндр как тело, следует ограничить его объем кругами верхнего и нижнего оснований. Подчеркнем, однако, что цилиндрической является лишь боковая поверхность, а основания представляют собой плоскости.

Если пересекать цилиндр плоскостями, перпендикулярными к оси поверхности (плоскость Р), то, как и при любой поверхности вращения, в пересечении будут получаться окружности. Плоскость, параллельная оси поверхности (плоскость Q), пересекает цилиндрическую поверхность по двум образующим (1⁰1⁰₁ и 2⁰2⁰₁). Плоскость, не перпендикулярная и не параллельная оси цилиндра (плоскость Т), рассекает его по эллипсу. Большой осью эллипса при этом является отрезок АВ, параллельный фронтальной плоскости проекций, и потому a’b’ – натуральная величина большой оси эллипса. Малая ось эллипса CD перпендикулярна к большой и, следовательно, параллельна горизонтальной плоскости проекций. Поэтому cd – натуральная величина малой оси, равная диаметру цилиндра.

Пусть заданы фронтальная и горизонтальная проекции прямого кругового цилиндра, пересеченного фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 1.42). Необходимо построить профильную проекцию цилиндра, срезанного плоскостью Р. (Будем полагать, что часть цилиндра выше плоскости Р отсутствует, и следует построить проекции оставшейся нижней части цилиндра.)

П оскольку плоскость Р перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, то фронтальные проекции всех точек линии пересечения цилиндра плоскостью совпадают со следом P_v. А так как все образующие цилиндра в рассматриваемой задаче перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальные проекции всех точек линии пересечения совпадают с окружностью, в которую проецируется цилиндрическая поверхность на плоскость Н. Таким образом, можно утверждать, что мы располагаем и фронтальной, и горизонтальной проекциями линии пересечения. По имеющимся двум проекциям можно построить недостающие профильные проекции любой точки линии пересечения.

Конус

Конус вращения представляет собой алгебраическую линейчатую развертываемую поверхность второго порядка, которая получается при вращении прямолинейной образующей вокруг оси и пересекающей эту ось в одной и той же точке. Конус вращения можно рассматривать как частный случай конической поверхности, при котором направляющая представляет собой окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси поверхности, а центр окружности лежит на оси. Поэтому такую поверхность называют также прямым круговым конусом.

На рис. 1.43 а представлено наглядное изображение, а на рис. 1.43 б даны проекции конуса вращения с вершиной S. Ось конуса перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Как и у любой поверхности вращения, пересечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси поверхности (плоскость R), представляет собой окружность с центром в точке О. Если конус рассекать плоскостями, проходящими через его вершину (плоскость S), то поверхность будет пересекаться по двум образующим (SА и SВ). Плоскость, пересекающая все образующие конуса (плоскость Q), создает в пересечении эллипс, большая ось которого равна отрезку GI, а малая – отрезку КМ. Если секущая плоскость параллельна двум образующим конической поверхности (плоскость Р), то последняя пересекается по гиперболе DCE. В случае, когда плоскость параллельна одной образующей конуса (плоскость Т), конус пересекается по параболе DFE.

Рис. 1.43

П усть задана фронтальная проекция m’ точки M (рис. 1.44), и требуется построить горизонтальную проекцию точки. Поскольку конус есть поверхность вращения, то через точку М всегда можно провести окружность с центром О₁, причем плоскость этой окружности будет перпендикулярна к оси поверхности. Из-за того, что в рассматриваемом примере ось конуса перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, плоскость окружности, проведенной через точку М параллельна плоскости Н. Поэтому фронтальная проекция такой окружности будет представлять отрезок прямой, перпендикулярной к проекции оси поверхности и проходящей через m’, а горизонтальная проекция – окружность. Радиус такой окружности и на плоскость V, и на плоскость H проецируется в истинную величину. Горизонтальная проекция m находится на горизонтальной проекции окружности, проведенной через точку M.

Для построения недостающей проекции точки можно воспользоваться и образующими. Если через точку М провести образующую, то ее фронтальная проекция будет выглядеть как прямая s’m’. Проведенная образующая должна пересекать окружность основания конуса, и точка 1’ – фронтальная проекция точки пересечения. Построив горизонтальные проекции 1 и s1, можно определить проекцию m точки M.

Выбор линии – окружности или образующей – для построения недостающей проекции точки, лежащей на конусе, определяется исключительно практическими соображениями: удобством и точностью выполняемых построений.

Если необходимо построить проекции эллипса, который получается при пересечении конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью T, то следует принять во внимание, что фронтальной проекцией эллипса мы уже располагаем. Поэтому горизонтальная проекция любой точки эллипса может быть построена как недостающая проекция точки, лежащей на конической поверхности. Возможные приемы таких построений рассмотрены выше. При этом желательно определить истинные величины и проекции большой и малой осей эллипса.

Большая ось АВ эллипса параллельна фронтальной плоскости проекций, и потому проецируется на нее без искажения: отрезок a’b’ – действительная величина большой оси эллипса. Малая ось CD эллипса перпендикулярна к большой и делит последнюю пополам. Так как большая ось эллипса параллельна плоскости V, то малая ось, лежащая в плоскости Т, перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций. Для определения положения совпадающих проекций c’ и d’ следует разделить отрезок a’b’ пополам. Отрезок CD параллелен горизонтальной плоскости проекций, и потому на плоскость Н должен проецироваться без искажения. Для построения проекций c и d через точки C и D проведена окружность с центром в точке О₂.

Сфера

Сфера представляет собой нелинейчатую неразвертываемую алгебраическую поверхность второго порядка, которая получается при вращении окружности или ее дуги вокруг оси, проходящей через центр окружности или дуги и лежащей в плоскости этой окружности или дуги.

На рис. 1.45 а дано наглядное изображение, а на рис. 1.45 б приведен чертеж сферы с центром в точке О. Все проекции сферы представляют окружности, диаметры которых равны диаметру сферы. Обратим внимание, что для исчерпывающего задания сферы на чертеже необходимы все три проекции. В практике черчения, однако, ограничиваются одной проекцией, но обозначение диаметра сопровождают надписью или специальным символом, указывающим, что изображена именно сфера.

Рис. 1.45

Линия пересечения сферы с плоскостью – всегда окружность, но форма ее проекций зависит от положения плоскости окружности относительно плоскостей проекций. Если плоскость окружности параллельна некоторой плоскости проекций, то окружность проецируется без искажения. Если плоскость окружности перпендикулярна к плоскости проекций, то окружность проецируется как отрезок прямой. Если плоскость окружности не параллельна и не перпендикулярна плоскости проекций, то проекция окружности представляет эллипс. Например, пересечение сферы горизонтальной плоскостью Р (рис. 1.45 б) образует окружность, которая на плоскость V проецируется в виде отрезка, а на плоскость Н – в виде окружности.

Некоторые из окружностей сферы важны для определения видимости поверхности относительной той или иной плоскости проекций. Так экватор сферы, на котором расположена точка А, определяет видимость сферы относительно горизонтальной плоскости проекций: та часть сферы, которая располагается выше экватора (см. проекцию на плоскость V), на горизонтальной проекции будет видна. Главный меридиан сферы, на котором расположена точка В, определяет видимость относительно фронтальной плоскости проекций: та часть сферы, которая расположена перед главным меридианом, т.е. дальше от плоскости V и, следовательно, ближе к наблюдателю (см. проекцию на плоскость Н), на фронтальной проекции будет видна. Профильный меридиан сферы, на котором расположена точка С, определяет видимость сферы относительно профильной плоскости проекций: та часть сферы, которая располагается левее профильного меридиана (см. проекции на плоскость V или Н), на профильной проекции будет видна.

Если необходимо построить недостающие проекции точки, лежащей на сфере, то следует действовать на основе признака принадлежности точки поверхности и в соответствии с использованным уже ранее алгоритмом: через точку надо мысленно провести окружность, построить проекции этой окружности, и найти на них требуемые проекции точки. Пусть, например, задана фронтальная проекция m’ точки М, и требуется построить горизонтальную и профильную проекции этой точки. Если через точку М провести горизонтальную окружность, то ее фронтальная проекция будет выглядеть как отрезок горизонтальной прямой, проходящей через точку m’. На горизонтальную плоскость эта окружность будет проецироваться без искажения. Горизонтальная проекция m располагается на построенной горизонтальной проекции окружности. Профильная проекция m” точки М может быть построена по имеющимся проекциям m’ и m, или, как это сделано на рис. 1.45 б, путем построения проекций окружности, проходящей через точку М и параллельной профильной плоскости проекций.

Тор

Тор представляет нелинейчатую неразвертываемую алгебраическую поверхность четвертого порядка, которая получается при вращении окружности или дуги окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности или дуги, но не проходящей через их центр.

На рис. 1.46 а показана торовая поверхность, ось О₁О₂ которой перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Поверхность образуется путем вращения окружности радиуса r вокруг оси О₁О₂ так, что центр окружности радиуса r описывает окружность радиуса R.

Рис. 1.46

Поскольку поверхность образуется вращением окружности, то тор имеет две системы круговых сечений. Одна из них образуется при пересечении тора плоскостями, перпендикулярными к оси поверхности. Например, при пересечении торовой поверхности плоскостью Р (рис. 1.46 а) образуются две окружности с радиусами R₁ и R₂ Вторая система круговых сечений возникает при пересечении тора плоскостями, проходящими через ось поверхности. Например, плоскость Q пересекает торовую поверхность по двум окружностям радиуса r.

Если задана фронтальная проекция a’ точки А и требуется построить горизонтальную проекцию точки, то, как в случае любой поверхности вращения, через точку следует провести окружность, построить проекции этой окружности, и найти на одной из них недостающую проекцию точки. Например, если через точку А провести окружность, плоскость которой должна быть перпендикулярна к оси О₁О₂ поверхности, то фронтальная проекция такой окружности пройдет через проекцию a’ и будет перпендикулярна к о'₁o'₂. Построив горизонтальную проекцию этой окружности, можно найти на ней горизонтальную проекцию a точки А.

Вид торовой поверхности зависит от соотношения величин r и R. Если R > r (рис. 1.46 а), то тор называют открытым. При R = r (рис. 1.46 б) имеем закрытый или замкнутый тор. Если продолжать уменьшать R, оставляя неизменным r, то получим самопересекающийся тор (рис. 1.46 в). Такой тор можно рассматривать также как результат вращения не окружности, а лишь ее дуги. Если рассматривать тело, ограниченное лишь частью внутренней поверхности открытого тора, то можно получить изображение торовой поверхности на рис. 1.46 г. Каждый из видов тора обладает всеми основными свойствами открытого тора, и, в частности, имеют те же две системы круговых сечений, о которых упоминалось выше.