Использование плоскостей в качестве вспомогательных поверхностей

П усть требуется построить проекции линии пересечения сферы радиуса R с центром в точке О и прямого кругового конуса с вершиной S (рис. 1.48).

Анализируя условия задачи, можно отметить, что пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость симметрии, определяемую осью конуса и центром сферы, и эта плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций. Отсюда следует, что линия пересечения заданных поверхностей также должна быть симметрична относительно указанной плоскости, а фронтальные проекции симметричных друг другу участков линии пересечения должны совпадать. Заметим также, что поверхности сферы и конуса относительно плоскости V видны лишь до плоскости симметрии. Относительно плоскости Н поверхность конуса, если убрать сферу, видна вся, а поверхность сферы – лишь до экватора. Поэтому видимость линии пересечения заданных поверхностей относительно горизонтальной плоскости проекций будет определяться поверхностью сферы.

Одним из целесообразных путей решения поставленной задачи является использование в качестве вспомогательных поверхностей горизонтальных плоскостей. Введем одну из таких плоскостей Т₁ и найдем линии, по которым она пересекает заданные поверхности. Поверхность сферы рассекается по окружности с радиусом R₁, а поверхность конуса – по окружности с радиусом r₁, причем обе они на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажений. Поскольку эти окружности принадлежат одной и той же горизонтальной плоскости Т₁, то они пересекаются в точках 1⁰ и 1⁰₁. Эти точки являются общими для сферы и конуса и, следовательно, принадлежат линии их пересечения. Горизонтальные проекции 1 и 1₁ – результат пересечения горизонтальных проекций окружностей с радиусами R₁ и r₁, а совпадающие фронтальные проекции 1' и 1'₁ определяются по линиям связей на фронтальном следе T_1v (проекциях окружностей с радиусами R₁ или r₁). Вводя новые горизонтальные плоскости и повторяя приведенные построения, можно найти достаточное количество точек, а соединив их плавной кривой, – получить проекции линии пересечения сферы и конуса.

Построения следует начинать с определения характерных точек линии пересечения, в частности, с поиска наиболее высокой и наиболее низкой точек искомой линии. Эти точки располагаются в плоскости симметрии пересекающихся поверхностей. В рассматриваемой задаче плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Устанавливаемые точки находятся на пересечении главного меридиана сферы и образующей конуса, лежащих в плоскости симметрии, поэтому фронтальная проекция 2' самой высокой точки и проекция 3' самой низкой точки находятся на пересечении проекций главного меридиана сферы с левой очерковой образующей конуса. Горизонтальные проекции 2 и 3 находят по линиям связей. После определения проекций точек 2⁰ и 3⁰ становится очевидным, что вспомогательные плоскости целесообразно вводить не выше точки 2⁰ и не ниже точки 3⁰.

Для определения точек, в которых горизонтальная проекция линии пересечения касается проекции экватора сферы, необходимо ввести горизонтальную плоскость Т₂, совпадающую с плоскостью экватора. Плоскость пересечет сферу по экватору, а конус – по окружности с радиусом r₂. Пересечение горизонтальных проекций этих окружностей позволяет определить точки 4 и 4₁. Фронтальные проекции 4' и 4'₁ располагаются на следе T_2v (фронтальной проекции экватора сферы, проекции окружности конуса). Точки 4 и 4₁ определяют границы видимости линии пересечения на горизонтальной проекции: та часть линии, которая располагается выше экватора (участок 4⁰2⁰4⁰₁), на горизонтальной проекции видна, а остальная часть линии пересечения не видна.

Здесь и далее будем считать, что кривые поверхности ограничивают монолитное непрозрачное тело. Тогда точки 2⁰ и 3⁰ определяют участки существования очерковой образующей конуса, а точки 4⁰ и 4⁰₁ – участок существования экватора сферы.