1.10. Пересечение прямой линии с кривой поверхностью

Если необходимо определить точки пересечения прямой линии (АВ) с кривой поверхностью Р (рис. 1.55), то следует последовательно выполнить следующие действия.

1. Заключить прямую в плоскость:

(АВ) Т

2.Найти линию пересечения этой плоскости и заданной поверхности:

Т Р = l⁰

3. Определить точки пересечения построенной линии и заданной прямой: l⁰ (АВ) = М_i

Точки пересечения прямой линии с поверхностью – точки общие для прямой линии и для поверхности. Линия пересечения l⁰ (рис. 1.55) плоскости Т с поверхностью Р – множество точек, принадлежащих как плоскости Т, так и поверхности Р. Прямая АВ и линия l⁰ пересекаются, поскольку принадлежат одной и той же плоскости Т. При этом точка пересечения М_i, лежащая на линии l⁰, принадлежит не только прямой АВ, но и поверхности Р, то есть является одной из точек пересечения прямой АВ с поверхностью Р.

Выбирая плоскость, в которую необходимо заключить прямую, следует стремиться к тому, чтобы линия пересечения этой плоскости с поверхностью была бы наиболее простой, а трудоемкость построений – наименьшей. Чаще используют проецирующие плоскости, однако иногда, в соответствии с решаемой задачей, целесообразно использовать плоскости общего положения, а для упрощения построений пользоваться способами преобразования чертежа.

П усть необходимо построить проекции точек пересечения прямой АВ (рис. 1.56) с торовой поверхностью.

В соответствии с приведенным выше порядком действий заключаем прямую АВ во фронтально-проецирующую плоскость Т (см. п. 1) и находим линию пересечения l⁰ этой плоскости с поверхностью тора (см. п. 2). Поскольку введена фронтально-проецирующая плоскость, то фронтальная проекция l' линии пересечения очевидна и соответствует отрезку 1'2'. Горизонтальные проекции точек 1 и 2 определяются без дополнительных построений, а проекции других точек находят, основываясь на принадлежности точек поверхности тора. Например, для построения точек 3 и 3₁ через точки 3⁰ и 3⁰₁ в пространстве проведена окружность радиуса r, принадлежащая тору, построена фронтальная, а затем и горизонтальная проекция этой окружности, на которой и найдены проекции отмеченных точек. После аналогичных построений достаточного количества точек их следует соединить плавной кривой, определив горизонтальную проекцию l линии пересечения плоскости Т с поверхностью тора.

Линия l⁰ и прямая АВ, лежащие в одной и той же плоскости Т, должны пересекаться в точках М₁ и М₂. Поэтому точки m₁ и m₂– горизонтальные проекции искомых точек. Фронтальные проекции m'₁ и m'₂ располагаются на фронтальной проекции a'b' (на проекции l', на следе T_v).На горизонтальной проекции вся поверхность тора видна, поэтому точки М₁ и М₂ также видны, а прямая АВ видна на участках (АМ₁] и [М₂В). На фронтальной проекции точка М₁ видна, поскольку находится перед плоскостью главного меридиана, а точка М₂ не видна, т.к. находится за плоскостью главного меридиана. Поэтому на фронтальной проекции прямая будет видна на участке (АМ₁] и лишь после того, как покажется из-за тора.