1.7. Многогранники

Под многогранниками понимают тела (пространственные фигуры), ограниченные плоскими многоугольниками. Примеры многогранников известны читателю из школьного курса геометрии: призма, пирамида, тетраэдр, гексаэдр (куб) и др.

Плоские фигуры, ограничивающие многогранник, носят наименование граней (рис. 1.31). Прямые, по которым пересекаются смежные грани, называют ребрами, а точки, в которых пересекаются ребра, – вершинами. Фигуру, получающуюся при пересечении многогранника плоскостью, иногда именуют основанием.

И зображение на чертеже проекций многогранника есть, по существу, изображение проекций вершин (точек), ребер (прямых) и граней (плоскостей). На рис. 1.32 приведены проекции призмы с основаниями АВС и А₁В₁С₁, на которых можно выделить проекции вершин (А, В, С₁...), ребер (АА_1, АС, В₁С₁...) и граней (АА₁В₁В, ВВ₁С₁С, АА₁С₁С). Особенность изображения состоит в том, что часть поверхностей призмы на той или иной проекции остается невидимыми, закрытыми другими гранями призмы. Например, грань АА₁В₁В, видимая на фронталь-ной плоскости проекций, остается невидимой на горизонтальной плоскости проекций, поскольку грань АА₁В₁В закрыта гранью АА₁С₁С и основанием А₁В₁С₁. Видимость элементов многогранника на плоскостях проекций может быть установлена путем рассмотрения взаимного положения конкурирующих точек на скрещивающихся прямых – ребрах многогранника.

Для построения недостающих проекций точек, принадлежащих поверхности многогранника, следует пользоваться теми же соображениями, которые использовались при построении проекций точек на прямых и плоскостях. Например, если задана фронтальная проекция m’ точки М, лежащей на ребре АА₁, то горизонтальная проекция m находится в проекционной связи на горизонтальной проекции ребра aa₁.

Для построения недостающей фронтальной проекции точки N, принадлежащей грани АА₁С₁С, (горизонтальная проекция n задана) необходимо основываться на признаке принадлежности точки плоскости. Через точку N следует провести какую-либо прямую, принадлежащую грани АА₁С₁С, тогда горизонтальная проекция этой прямой могла бы выглядеть как прямая 1-2. По точкам пересечения 1⁰ и 2⁰ прямой с соответствующими ребрами можно определить ее фронтальную проекцию 1'2', на которой располагается искомая проекция n’.

Количество построений можно несколько сократить, если при построении недостающей проекции точки проводить через точку прямую, направление которой определено заранее. Пусть, например, задана фронтальная проекция k' точки K, лежащей на грани ВВ₁С₁С, и требуется построить горизонтальную проекцию этой точки. Проведем через точку K прямую, параллельную ребру ВВ₁.Такая прямая принадлежит грани ВВ₁С₁С, и потому пересекает ребро ВС. Фронтальная проекция проведенной прямой проходит через точку k' и параллельна b’b₁’. Точка 3' – фронтальная проекция точки пересечения этой прямой с ребром ВС. Можно построить горизонтальную проекцию 3, а направление горизонтальной проекции проведенной прямой уже известно: она должна быть параллельна bb₁. Горизонтальная проекция k находится в проекционной связи на построенной проекции прямой.