Пересечение многогранника с проецирующей плоскостью. Построение натурального вида фигуры сечения.
Пусть задана пирамида SABC (рис. 1.33 а), пересеченная фронтально-проецирующей плоскостью Р. Требуется построить проекции и натуральный вид сечения пирамиды плоскостью Р – фигуры, получающейся при пересечении пирамиды плоскостью Р.
Поскольку плоскость Р перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция линии пересечения уже имеется, и остается достроить лишь горизонтальную проекцию искомой линии. При пересечении должен получиться многоугольник, т.к. плоскость Р пересекает грани многогранника по некоторым отрезкам прямых. Вершинами многоугольника (в данном случае треугольника) будут являться точки пересечения плоскости Р с ребрами многогранника. Обозначив фронтальные проекции m’, n’, l’ точек пересечения, найдя их горизонтальные проекции m, n, l и соединив их прямыми, получим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости Р с пирамидой SABC.
Рис. 1.33
Конечно, треугольник MNL ни на фронтальной, ни на горизонтальной плоскостях проекций не проецируется в натуральную величину, поскольку плоскость треугольника не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Для определения его истинных размеров можно воспользоваться двумя приемами.
Один из них – способ перемены плоскостей проекций. Зададимся положением пирамиды относительно системы плоскостей проекций V,H – поставим, например, пирамиду на плоскость Н, и перейдем к осному чертежу. Для того, чтобы треугольник MNL проецировался без искажений, следует ввести плоскость Т параллельную плоскости треугольника (и перпендикулярную к плоскости V), и перейти от системы V,H к системе V,T. Проекция треугольника на плоскость Т – mtntlt – будет соответствовать истинным размерам треугольника MNL.
Другой прием – построение натурального вида сечения координатным способом. Необходимо построить плоскую фигуру, а положение любой точки на плоскости определяется двумя координатами. Поэтому можно задаться двумя взаимно перпендикулярными координатными осями, и построить сечение в этой системе координатных осей. При этом направление осей должно быть выбрано таким образом, чтобы размеры вдоль выбранных осей на одну из плоскостей проекций проецировались бы без искажения.
Для удобства построения зададимся началом координат в точке М (рис. 1.33 а). Одну из осей – ось Мх1 – направим в плоскости Р параллельно фронтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция этой оси – m’x1’, горизонтальная – mx1. Вторую ось Му1 следует направить в плоскости Р перпендикулярно к оси Мх1 и перпендикулярно к плоскости V. Это будет фронтально-проецирующая прямая, направление которой совпадает с направлением оси Оу. На фронтальную плоскость проекций ось Му1 проецируется в точку, совпадающую с m’, а на горизонтальную – в прямую my1. Поскольку ось Мх1||V, то размеры вдоль оси Мх1 проецируются без искажения на плоскость V, а т.к. ось Му1||Н, то размеры вдоль оси Му1 без искажения проецируются на плоскость Н.
Теперь в любом свободном месте поля чертежа можно провести две взаимно перпендикулярные оси М0x1 и М0y1 (рис. 1.33 б), и построить точки N0 и L0 (точка М0 совпадает с началом принятой системы координат). Размеры вдоль оси М0х1 следует брать с фронтальной проекции: для точки N0 – расстояние m’n’, для точки L0 – m’l’. Размеры вдоль оси М0y1 надо брать с горизонтальной проекции – удаления точек n и l от проекции оси mx1 (расстояния nnx1 и llx1).