7.6. Простейшие случаи установившейся напорной фильтрации несжимаемой жидкости

Геометрия фильтрационных потоков нефти, газа и воды в реальных пластах может быть очень сложной: границы водонефтяного или во до-газового контактов бывают самой причудливой формы, пласты часто имеют переменную по простиранию толщину, месторождения разраба­тываются десятками и сотнями скважин, которые могут вскрывать пласт не на всю его толщину (так называемые несовершенные по степени вскрытия скважины), и т.д.

Все это усложняет картину фильтрации и с трудом поддается учету. Вот почему при изучении реальных явлений, происходящих в пластах, необходимо предварительно рассмотреть простейшие фильтрационные потоки, из которых, как из элементов, затем можно составить модели более сложных явлений.

Рис. 7.1.

Параллельно-прямолинейная фильтрация. Рассмотрим случай фильт­рации жидкости в прямолинейном пласте (рис.7.1). Пусть имеется пласт в форме параллелепипеда длиною L, шириною (в плане) В и толщиною h с непроницаемыми кровлей и подошвой (например, с расположенными выше и ниже него глинистыми пластами). На левой границе пласта, принимаемой за контур питания, давление р_к, на правой, называемой галереей,-р_г. Этим давлениям соответствуют напоры P_к и P_г. Так как площадь фильтрации (s = Вh) постоянна по длине пласта, линии тока жидкости будут параллельны друг другу, а поля скоростей и приве­денных давлений для любого горизонтального параллельного линиям тока сечения пласта будут одинаковыми (поперечных перетоков жид­кости в нем нет). Такую фильтрацию называют прямолинейно-параллель­ной. Она происходила в опытах Дарси.

Следовательно, расход (называемый дебитом) галереи по формуле:

Q=k/η∙pк-pг/L∙Bh. (7.21)

Скорость фильтрации, одинаковая для любого живого сечения пласта, определяется по выражению:

U=k/η∙pк-pг/L (7.22)

Подставив в это выражение значение Q из формулы (7.21), получим закон распределения давления по длине пласта:

p=pг+pк-pг/L∙x (7.23)

Линия падения давлений, следовательно, и соответствующих им напоров

Н = р/(ρg), представляет собой прямую (см. рис.7.1).

При разработке нефтяных месторождений примером фильтрации, близкой к прямолинейно-параллельной, служит фильтрация в полосо­вой залежи, эксплуатирующейся прямолинейной цепочкой скважин.

Плоско-радиальная фильтрация. Рассмотрим другой простейший слу­чай фильтрационного потока - плоско-радиальную фильтрацию несжи­маемой жидкости. Пусть скважина расположена в центре кругового пласта толщиной h (рис.7.2). Обозначим радиус контура питания R_к, радиус скважины rс, давление на них соответственно р_к и р_с. Пока скважина не эксплуатируется, в любой точке пласта^давление p_к, а соответствующий ему статический уровень Н_к = р_к/(ρg). Для того, чтобы жидкость притекала к скважине, необходимо снизить давление на ее забое (нижней точке) р_с, т. е. создать условие р_к > р_с (или H_к > Н_с, где H_с= =pс/(ρg)-динамический уровень жидкости в скважине). Если при этом динамический уровень окажется больше глубины скважины, она будет фонтанировать, т. е. жидкость с

может поступать на поверхность земли только за счет затрат пластовой энергии (гидростатического напора). Если Н_с меньше глубины скважины (см. рис.7.2), добывать жидкость можно только за счет внешних источников энергии (например, насосами). Линии тока жидкости в рассматриваемом случае направлены от контура

Рис. 7.2.

питания к скважине по радиусу пласта, а поля скоростей фильтрации и давлений для любого его горизонтального сечения одина­ковы. Такую фильтрацию называют плоско-радиальной.

Закон Дарси в дифференциальной форме:

U=k/η∙dp/dr,

где dр/dr - градиент давления.

Скорость фильтрации U и давление р для точек пласта, отстоящих на одинаковых расстояниях r от его центра в силу симметрии будут одинаковыми. Объемный расход жидкости через произвольное живое сечение пласта s(r) (в виде боковой поверхности цилиндра радиусом r и высотой h)

Q=2πkh/η∙pк-pс/ln(Rк/rс), (7.24)

где разность давлений р_к—р_с называют депрессией. Выражение (7.24), являющееся законом Дарси для плоско-радиальной фильтрации, назы­вают формулой Дюпюи, которая считается основной при расчетах, связанных с эксплуатацией нефтяных месторождений, а также водяных') артезианских скважин. Формула (7.24) может использоваться и для определения дебита нагнетательных скважин, используемых при завод­нении пластов. В этом случае в числителе вместо депрессии р_к—р_с записывается репрессия pс – pк ,

так как pс > pк .

Приняв за R_к произвольный радиус r, а за p_к соответствующее этому радиусу давление в пласте р, разрешим формулу Дюпюи относительно р: p=pс+Qη/2πkh∙ln(r/rс).

0

Заменив в этом выражении Q полученное из выражения (7.24), имеем

p=pс+pк-pс/ln(Rк/rс)∙ln(r/rс). (7.25)

Из уравнения (7.25) видно, что закон распределения давлений (а, следовательно, и динамических напоров) при плоско-радиальной фильтрации логарифмический. Поверхность, образующуюся от враще­ния логарифмической пьезометрической линии, соединяющей динами­ческие уровни, называют воронкой депрессии (см. рис.7.2).

Из анализа формулы (7.25) или рассмотрения воронки депрессии видно, что наибольшие потери давления (или соответствующие им потери напора) происходят вблизи от скважины (в призабойной зоне). Это объясняется тем, что при постоянстве расхода (жидкость несжи­маема) для любой цилиндрической поверхности радиуса r (R_к ≤ r ≤ r_с) максимальная скорость фильтрации будет в зоне малых r. А при фильтрации, также как и при движении жидкости в трубах, с ростом скорости растут и потери давления.

По формуле (7.25) можно определить давление р в любой точке пласта, отстоящей от скважины на произвольном расстоянии r.

Массовый расход газа для любого живого сечения пласта одинаков, а объемный расход будет зависеть от давления. На практике объемный расход (дебит) газовых скважин принято приводить к атмосферному давлению и обозначать Q_а.

Qа=πkh/ηpа∙pк²-pс²/ln(Rк/rс). (7.26)

Выражение (7.26) называют формулой Дюпюи для газа. Сравним уравнения (7.25) и (7.26) и определим общий способ перехода от расчетных формул для фильтрации несжимаемой жидкости к расчетным формулам для газа. Для этого необходимо объемный дебит Q заменить на массовый дебит Qм, а давление заменить на функцию Лейбензона. Используя этот способ, легко получить расчетные формулы для дебита газа и законы распределения давления в пласте по соответствующим формулам для несжимаемой жидкости.

Пример решения задач

Пример 7.1. Определить приток воды к буровой скважине радиусом

r_o = 0, 1 м, заложенной в водоносный пласт, образованный крупнозернистым

песком. Водоносный пласт пройден скважиной на всю толщину Н_ст = 20 м, и

подстилается и подстилается водонепроницаемыми породами. Глубина воды в

скважине Н_дин = 15 м.

Дано: Решение:

r_o = 0, 1 м По таблице 9.3 для крупнозернистого песка

Н_ст = 20 м К = 5 ∙ 10^-4 м/с.

Н_дин = 15 м R дейст – я скважины по формуле:

R = 3 ∙ 10³ ∙ (Н_ст – Н_дин) =

Найти: = 3 ∙ 10³ ∙ (20 – 15) ∙ =

= 3 ∙ 10³ ∙ 5 ∙ 2, 24 ∙ 10^-2 = 335 м.

Q - ? Приток воды к скважине определяем по

формуле:

Контрольные вопросы

1. Что называется фильтрацией?

2. Что называется коэффициентом пористости и просветности?

3. Что называется скоростью фильтрации и скоростью движения и какая из этих скоростей больше?

4. Что называется проницаемостью породы и в каких единицах она измеряется?

5. Что называется приведенным давлением?

6. Что такое закон Дарси и как определяются границы его применения?

7. Что такое параллельно-прямолинейная фильтрация и каков для нее вид закона Дарси (жидкость несжимаемая)?

8. Что такое плоско-радиальная фильтрация?

9. Напишите формулу Дарси для несжимаемой жидкости.

10. Каков вид записи законов распределения давления для несжимаемой жидкости для параллельно-прямолинейной и плоско-радиальной фильтрации?

11. Чем усложняется вывод формул фильтрации для газа?

12. Что называется функцией Лейбензона и как она используется?

13. Напишите формулу Дюпюи для газа.

Вопросы усложненные – на «5».

1. Объясните с позиций трубной гидравлики, почему после гидроразрыва пласта (образования в нем крупных трещин за счет создания в скважине высокого давления) дебит скважины возрастает?

2. Почему, в отличие от трубной гидравлики, увеличение диаметра сква­жины незначительно сказывается на ее дебит?