2.7. Гидростатический парадокс
Рис. 2.6. Давление жидкости на днище сосудов различной формы
Сравним несколько сосудов различной формы, имеющих равные
площади S плоских круглых днищ (рис. 2.6). Все сосуды заполнены жидкостью
до одинакового уровня Н.
Гидростатическое давление на днище во всех трех сосудах равно
ρgН. Сила полного давления на каждое днище определяется весом жидкости в
объеме цилиндра аbcd и равна SρgH. Таким образом, сила полного давления на
днище во всех сосудах одинакова.
Для всех трех сосудов распределение давления будет одинаковым.
Поскольку избыточное давление в открытом сосуде равно нулю, эпюра давления
будет иметь вид прямоугольного треугольника. В основании треугольника в масш-
табе откладывается давление на дно сосуда (р = ρgН).
Поэтому гидростатический парадокс в сосудах равной формы,
заполненных одной и той же жидкостью, до одного и того же уровня Н и имею-
щих одинаковую площадь S дна, сила давления будет одинакова, а давление разное.
В этом суть гидростатического парадокса.
1.3. Давление в покоящейся жидкости
Распределение давления в покоящейся жидкости находится из уравнений равновесия Эйлера:
dp
= ρ(X
dx
+ Y
dy
+ Z
dz)
(1.28)
в которых вектор F с компонентами (X, Y, Z) называется плотностью массовых сил или напряжением массовых сил (массовая сила, рассчитанная на единицу массы; размерность – ускорение). Дифференциальное уравнение поверхности равного давления (изобарической поверхности) имеет вид
X dx + Y dy + Z dz = 0 (1.29)
Поверхность раздела между жидкой и газообразной средой называется свободной поверхностью.
В однородной несжимаемой жидкости (P = const), находящейся в равновесии под действием силы тяжести (Х=0, Y=0, Z= - g, ось z направлена вверх), распределение давления определяется из выражения
P = P0+ρg (z0-z) = P0+ ρgh, (1.30)
где P0 – давление в точках горизонтальной плоскости с координатой Z0 (в качестве такой плоскости чаще всего выбирается свободная поверхность жидкости); z – координата точки, в которой определяется давление P; h = Z0 – Z – глубина погружения рассматриваемой точки по отношению к плоскости с координатой Z0 ; g – ускорение свободного падения (рис. 1.1).
Формула (1.30) носит название основного уравнения гидростатики. Из нее следует закон Паскаля: изменение давления в какой-либо покоящейся и продолжающей оставаться в покое точке жидкости передаётся одинаковым образом всем точкам этой жидкости. В совершенном газе, т.е. газе, подчиняющемуся закону Клапейрона, находящейся в равновесии под действием силы тяжести, распределение давления при условии постоянства температуры по высоте (T – const) определяется барометрической формулой
P
= P0e
(1.31)
где P0, ρ0 – соответственно абсолютное давление и плотность газа в точках горизонтальной плоскости с координатой z0. Из формулы (1.31) можно найти высоту
(1.32)
Эта формула называется формулой барометрического нивелирования, так как позволяет определить разность высот по показаниям двух барометров.
Пьезометрическая
высота
Hп
h P0
P z Z0
Рис. 1.1. Закрытый сосуд с покоящейся жидкостью (справа показана вертикальная открытая трубка – пьезометр)
Из формул (1.30) и (1.31) следует, что поверхностями равного давления для жидкости и газа, находящихся в абсолютном покое, являются горизонтальные плоскости
Z = const.
Простейшим прибором для измерения давления в сосуде с жидкостью является пьезометр, представляющий собой вертикальную, открытую сверху стеклянную трубку, присоединяемую к сосуду (см. рис. 1.1). Пьезометр измеряет избыточное давление на поверхности жидкости в сосуде; пьезометрическая высота равна
(1.33)
Назовём пьезометрической поверхностью поверхность, проходящую через уровень жидкости в пьезометре, или, что то же, поверхность, на которой давление равно атмосферному.
Если P0 > Pa, то ΔP > 0, и пьезометрическая поверхность располагается выше уровня жидкости в сосуде; если P0 < Pa, то ΔP < 0, и она находится ниже уровня жидкости; если P0 = Pa, то пьезометрическая поверхность совпадает с поверхностью жидкости.
Для измерения давления применяются следующие приборы: барометры измеряют атмосферное давление, манометры – избыточное, вакуумметры – вакуум; для измерения разности давления в двух точках применяются дифференциальные манометры.
Вопросы по теме 1.3.
1.Какие виды давления Вы знаете и какими приборами они измеряются?
2.Каково численное соотношение между единицами давления «паскаль» и «техническая атмосфера»?
3.Как запишется основное уравнение гидростатики, если известно ? на свободной поверхности жидкости и требуется определить абсолютное давление в нижерасположенной точке?
4.Какой вид давления обязательно используется в формулах барометрической и барометрического нивелирования?
5.Где расположена пьезометрическая поверхность для открытого сосуда с жидкостью?