3.5.3 Вынужденные колебания. Резонанс

Пусть к точке, помимо восстанавливающей силы, приложена еще периодическая сила, проекция которой на ось Ох:

Q = Q0 ·sinpt.

Эта силу называется возмущающей. Колебания при наличии такой силы называются вынужденными.

1. Рассмотрим движение точки при наличии возмущающей силы и при отсутствии сопротивления.

Дифференциальное уравнение движения будет

Здесь Р0 имеет размерность ускорения.

Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения уравнения (3.39). Общее решение однородного уравнения известно – оно получено ранее и имеет вид, определяемый формулой (3.32). Частное решение неоднородного уравнения для случая p ≠ k ищем в виде

где В нужно выбирать из условия, чтобы равенство (3.39) обратилось в тождество. Подставим это значение х2 и его вторую производную в (3.39), тогда

−p2Bsin pt + k2Bsin pt = P0 sin pt.

Как и ранее, постоянные интегрирования А и α должны определяться из начальных условий.

Из (3.41) следует, что колебания точки складываются из:

1) колебаний с амплитудой А, зависящей от начальных условий, и с частотой k; (это собственные колебания);

128

2) колебаний с амплитудой В, не зависящей от начальных условий, и частотой р вынуждающей силы; это вынужденные колебания.

В реальных условиях свободные колебания всегда затухают, и движение будет вынужденными колебаниями с частотой вынуждающей силы. Амплитуда этих колебаний

где λ0 – величина статического отклонения точки под действием вынуждающей силы:

λ0 = P0 / k2 =Q0 / c.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частот собственных колебаний и вынуждающей силы. При p ≈ k она теоретически становится бесконечной.

Явление, при котором частота собственных колебаний и частота периодической вынуждающей силы совпадают (p = k), носит название

резонанса.

3.5.4 Вынужденные колебания при вязком сопротивлении

Пусть точка движется под действием:

-восстанавливающей силы F;

-силы вязкого сопротивления R;

-возмущающей силы Q = Q0sin pt.

Вэтом случае дифференциальное уравнение движения будет иметь

вид

Полученное неоднородное линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида х = х1 + х2, где х1 – общее решение однородного уравнения, соответствующего (3.42), когда правая часть равна нулю (при b < k это решение представлено формулой (3.37)), а х2 – частное решение

(3.42).

Частное решение ищется в виде:

B(−p2 + k2 )sinψ + 2bpBcosψ = P0 (cos β sinψ +sin β cosψ).

129

Чтобы это равенство выполнялось при любых значениях ψ = pt – β, коэффициенты при sinψ, cosψ в левой и правой частях порознь должны быть равны друг другу:

B(k2–p2) = P0cosβ, 2bpB = P0 sinβ.

Отсюда

где А и α определяются из начальных условий, а величины В и β определяются формулами (3.44) и от начальных условий не зависят. При b = 0 получается рассмотренный ранее случай отсутствия сопротивления.

Первое слагаемое справа в выражении (3.45) отвечает собственным колебаниям, затухающим со временем. Второе слагаемое представляет собой решение, отвечающее вынужденным колебаниям. По истечении периода времени установления первое слагаемое становится малым и

Таким образом, величины В и β зависят от двух безразмерных параметров z, h. Вид этой зависимости приведен на рисунке 3.22, где введено обозначение η = В/λ0 для величины, показывающей, во сколько раз амплитуда В больше статического отклонения λ0, от отношения частот z. Эта величина называется коэффициентом динамичности.

130

Рисунок 3.22 – Амплитудно-частотная характеристика

Итак, вынужденные колебания точки, в отличие от собственных колебаний, имеют следующие свойства.

1.Амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не

зависит.

2.Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают.

3.Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит.

угодно малые колебания системы, если частота вынуждающей силы p много меньше частоты k собственных колебаний системы.

131