Далее эти понятия не различаем и используем единый термин «масса».
3.2 Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
3.2.1Основные соотношения
Впрямоугольных декартовых координатах движение точки задается уравнениями:
x = f1 (t), y = f2 (t), z = f3 (t). |
(3.3) |
Задача динамики – по этим уравнениям найти действующую на точку силу или по известной силе (системе сил) найти уравнения (3.3).
Это можно сделать с помощью второго закона динамики. Проектируя все силы F1, F2, …, Fn на оси x, y, z и соответствующие
ускорения на эти же оси, получим
m d 2 |
2x = |
∑Fkx , |
m d 2 2y |
= ∑Fky , |
m |
d 2 |
z |
= ∑Fkz , |
(3.4) |
dt |
2 |
||||||||
dt |
|
k |
dt |
k |
|
|
k |
|
|
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•• |
|
•• |
|
•• |
|
|
|
|
|
m x |
= ∑Fkx , m y = ∑Fky , m z = ∑Fkz . |
(3.5) |
||||||
Это и есть дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. В общем случае правые части этих уравнений
• • •
могут быть функциями времени t, координат x, y, z, скоростей x, y, z.
В осях естественного трехгранника проектируем обе части равенства ma = ∑Fk на оси Мτ – касательную к траектории точки, Mn – главную нормаль, Mb – бинормаль. Учтем, что
aτ = dv/dt, an = v2/ρ, ab = 0.
Тогда |
|
|
|
|
|
m dv |
= ∑Fkτ , m |
v2 |
= ∑Fkn , 0 = ∑Fkb. |
(3.6) |
|
ρ |
|||||
dt |
|
|
|
Эти уравнения, где v = ds/dt, – уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.
Если ускорение точки известно, то действующие силы или реакции связей определяются сразу по соотношению ma = ∑Fk . Если известен
99
закон движения в какой-либо форме, то силы определяются по соотношениям (3.5) или (3.6).
3.2.2 Основная задача динамики точки при прямолинейномдвижении
Если при прямолинейном движении ось Ох направлена вдоль траектории (это в рассматриваемом случае прямая), то движение точки опишется уравнением
m d |
2 |
2x |
= ∑Fkx , |
|
•• |
|
|
или |
mx = ∑Fkx. |
(3.7) |
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (3.7) – дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки. Его иногда заменяют системой двух уравнений
m dvx = ∑Fkx , |
dx |
= vx. |
(3.8) |
dt |
dt |
|
|
Когда нужно найти зависимость vx(x) (а не vx(t) ), уравнения (3.8) преобразуют к переменной х. В первом уравнении
|
dvx = dvx dx |
= v |
x |
dvx , |
|
||||
|
dt |
dx dt |
|
|
|
dx |
|
|
|
и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mvx |
dvx = |
∑Fkx , |
dx |
= vx. |
(3.9) |
||||
|
dx |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Решение первой задачи динамики сводится к определению закона х = x(t). Поскольку в общем случае
Fkx = Fkx(х, dx/dt, t),
то (3.8) принимает вид
•• |
• |
(3.10) |
m x |
= F(t, x, x). |
|
Общий вид решения после интегрирования будет |
|
|
x = f (t, C1, C2 ), |
(3.11) |
|
где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Для их определения используются начальные условия, т.е. положение и скорость точки в момент t = 0.
В случае прямолинейного движения это условия:
при t = 0: |
x = x0, v = v0. |
(3.12) |
Определив с помощью (3.12) постоянные С1, С2, можно записать частное решение в виде
100