Вдоль х действует сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
–Fcosα = –mgrcosα/R = – mgx/R. |
|
|
|||||||
m dv |
= −m gx ; |
v dv = −k2 x; |
(k |
2 = |
g |
) |
|
vdv = −k2 xdx; |
||
|
|
|||||||||
dt |
R |
dx |
|
|
R |
|
|
|
|
|
Интегрируя последнее равенство, получим |
v2 |
= − |
k2 x2 |
+C . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из начальных условий находим
C1 = k2a2 ; 2
тогда скорость определяется соотношением v = ±k
a2 − x2 .
Если для показанного на рисунке 3.2 положения скорость точки М направлена к точке О, то в этом выражении принимается знак минус.
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= −k a2 − x2 ; |
|
|
= −kdt; |
|||||
dt |
|
|
|
|||||
a2 − x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
и после интегрирования получаем
kt = arccos(x / a) +C2.
Учет начального условия (при t = 0 x = 0) дает С2 = 0, и тогда x = a·cos kt –
это закон гармонических колебаний с амплитудой а. Период этих колебаний t1 определится из соотношения kt1=2π, тогда t1 = 2π/k, а время прохождения вдоль канала – половина периода t2 = π/k = π√R/g. Это время составляет 42 мин 11 с и, что следует из пол ученных зависимостей, не зависит от длины хорды а. Таким образом, при движении под действием сил тяжести по любой хорде, соединяющей две точки поверхности Земли, время прохождения от одной точки до другой всегда одно и то же. Максимальная скорость такого движения – при х = 0, vmax = ka – эта величина уже зависит от а. Если, например, туннель такого вида прорыть между Москвой и Санкт-Петербургом, то максимальная скорость будет (2а = =637 км) 1422 км/час.
Пример 3
Сила зависит от скорости. Это типичный случай вязкого сопротивления.
Пусть лодку массой 40 кг толкнули со скоростью v0 = 0,5 м/с (рисунок 3.3). Если сила сопротивления воды R = µv, a µ = 9,1 кг/с, то
103