Глава 1

1.МЕХАНИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Изменение материи называется движением. Под движением можно понимать все процессы, происходящие во Вселенной – от простого механического перемещения до мышления.

Механика – наука о механическом движении и о механическом взаимодействии тел.

Независимо от специальности инженеру приходится сталкиваться с разнообразными вопросами, решение которых зачастую связано с исследованием механического движения и/или механического взаимодействия материальных тел. Так, для специалистов в области электронного приборостроения и машиностроения задачи теоретической механики возникают при конструировании механизмов настройки и управления радиоэлектронной аппаратуры, при создании разного рода электромеханических устройств, защиты аппаратуры от вибрации, ударов и т.п. Важную роль играет механика в вопросах робототехники и т.д.

Классическая механика исходит из предположения, что свойства пространства и времени не зависят от того, какие материальные объекты участвуют в движении и как именно они движутся. Поэтому появляется возможность выделить и описать некоторые общие свойства движения. При таком подходе рассматриваются лишь некоторые общие геометрические характеристики движения, которые в равной мере могут быть отнесены к движению самых разных объектов – молекулы или Солнца, изображения на экране телевизора или тени самолета на Земле.

Предполагается, что пространство однородно и изотропно, а время однородно. Однородность (соответственно изотропность) пространства означает, что в пространстве нет каких-либо точек (направлений), которые отличаются от других. Однородность времени означает, что при течении времени нет каких-либо примечательных, специально выделенных моментов и безразлично, от какого момента ведется отсчет. Пространство и время предполагаются «метризуемыми», т.е. в пространстве можно ввести масштаб, а во времени – часы.

Сам термин «механика» введен впервые Аристотелем (384– 322 гг. до н.э.) и в те времена ассоциировался с такими понятиями, как «сооружение, машина».

В настоящее время под механикой понимается наука, охватывающая математические методы описания механических движений.

Механическое движение – происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве. Примерами механического движения являются движения небесных тел,

8

течения газов и жидкостей, тепловое движение молекул, движения транспортных средств и живых существ и т.д. Приведенные в этом ряду примеры движений существенно отличаются пространственными и временными масштабами. Тем не менее, с точки зрения механики, они описываются во многом сходными понятиями и закономерностями.

Механическое взаимодействие тел – такое воздействие тел друг на друга, в результате которого происходит изменение движения, формы и (или) размеров тел. Мерой механического взаимодействия является сила.

Возможны разные способы классификации разделов механики. Например, есть классификация, в соответствии с которой механика делится на три ветви: 1) теоретическую, 2) квантовую и 3) релятивистскую.

О первом направлении пойдет речь в нашем курсе, второе изучает объекты микроскопических масштабов, в третьем речь идет о движении тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме.

В механике можно выделить следующие направления, каждое из которых тоже представляет собой комплекс дисциплин.

1.Собственно теоретическая (общая) механика. О ней будет речь идти ниже на протяжении всего курса.

2.Реология (буквально – наука об изменении, о течении). Это направление в качестве одной из важнейших составных частей содержит в

себе механику деформируемого твердого тела. Она делится на такие составляющие, как теория упругости, теория пластичности, теория вязкоупругости, прикладная механика, теория оболочек, теория балок и стержней (сопротивление материалов), теория механизмов и машин, и т.д. Второе крупное направление – механика жидкости, газа и плазмы. Можно детализировать и дальше каждую из перечисленных дисциплин, но важно подчеркнуть то обстоятельство, что во всех частных или более общих разделах реологии используются понятия и методы, составляющие предмет теоретической механики. На них мы и остановимся.

В основе классической механики лежат законы Ньютона, которые являются обобщением опытных данных. Эти законы верны для подавляющего большинства приложений, во всяком случае, пока мы не принимаем во внимание поправки, связанные с теорией относительности.

Основной метод исследования в механике – моделирование. Модель – это всегда абстракция, некоторое упрощенное представление об объекте или явлении, отражающее их характерные черты. Модель иногда сравнивают с карикатурой: это не портрет и не фотография, но сходство с оригиналом обычно является настолько очевидным, что не нужно объяснять, о ком или о чем идет речь.

9

В классической механике почти все используемые положения и понятия являются абстракциями, или моделями.

Вместо реальных объектов в теоретической механике рассматриваются две основные модели:

-материальная точка;

-абсолютно твердое тело.

Материальная точка по аналогии с математической точкой не имеет пространственной протяженности, но, в отличие от математической точки, обладает массой.

На практике понятие точки используется обычно тогда, когда для описания движения реального тела достаточно знать положение его «в целом», а ориентация тела значения не имеет. Материальный объект может рассматриваться как материальная точка, если можно считать, что в любой момент времени скорости и ускорения всех точек объекта одинаковы. Вопрос о том, можно ли рассматривать тот или иной объект как материальную точку, определяется не размерами объекта, а особенностями его движения и степенью идеализации задачи. Описание движения самолета или ракеты по траектории можно проводить с использованием понятия материальной точки, если не интересоваться ориентацией их в пространстве. Аналогичным образом движение Земли или любой другой планеты вокруг Солнца можно рассматривать как движение материальной точки. Как только нужно учесть ориентацию самолета или ракеты, Земли или планеты на траектории, модель материальной точки уже непригодна.

Абсолютно твердое тело – это объект, который не меняет своих размеров при любой нагрузке и при любом движении.

Иногда используется другое определение: абсолютно твердое тело – множество материальных точек, расстояние между которыми во время движения не меняется. Ясно, что все реальные тела в той или иной степени подвержены изменению формы и/или размеров. В модели абсолютно твердого тела такими изменениями пренебрегается по сравнению с исходными размерами тела.

Хотя эти модели представляют собой абстрактные понятия, при их использовании получается большое количество практически полезных результатов.

Теоретическая механика в инженерном образовании является базой многих областей современной техники.

По характеру рассматриваемых задач механика (независимо от объектов и методов исследования) делится на три больших основных раздела – статика, кинематика и динамика.

Статика – учение о силах и об условиях равновесия материальных тел под действием сил.

10

Кинематика – описание геометрических свойств движения твердых тел.

Динамика – учение о движении материальных тел под действием

сил.

Из этих определений следует, что синтетическим разделом механики, в известном смысле объединяющим в себе статику и кинематику, является динамика. По этой причине, в частности, в разных учебниках по теоретической механике можно найти различную последовательность изложения предмета – в одних излагается сначала статика, а затем кинематика, в других эта последовательность изменена, но динамика излагается всегда в последнюю очередь. Ниже изложение начинается со статики. В известном смысле это соответствует истории развития механики.

Историческая справка

Происхождение термина «механика», как было отмечено выше, связывается с именем Аристотеля. Возникновение и развитие механики – впрочем, как и подавляющего большинства других наук – тесно связано с развитием производительных сил общества, уровнем техники на каждом этапе его развития.

Так, приемы статики уже широко использовались при строительстве таких сооружений, как знаменитые пирамиды древнего Египта, дворцовые и храмовые комплексы, дошедшие и до наших дней. Систематически начала статики впервые изложены в трудах Архимеда (287 – 212 гг. до н. э.).

Именно статика дала теорию так называемых простейших машин – строительных приспособлений, таких как блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость и т. д.

Практически до ХV – XVI вв. статика и теоретическая механика в целом не получили никакого существенного развития. Лишь в связи с развитием мореплавания, военного дела, с появлением огнестрельного оружия в XVII веке сформулированы законы динамики Галилеем (1564 – 1642 гг.) и позднее Ньютоном (1643 – 1727 гг.).

Все более или менее значимые результаты этого периода приведены в систему в труде И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).

Кинематика как особый раздел механики начала оформляться в XVIII – XIX веках под влиянием развития машиностроения. Практически в то же время начинает развиваться и динамика.

Аналитические методы механики – с использованием дифференциального и интегрального исчисления – начали развиваться в XVIII веке и связаны с именами Л. Эйлера (1707 – 1783), Ж. Даламбера

11

(1717 – 1783), Ж. Лагранжа (1736 – 1813). Эти методы остаются основными до сих пор.

Из российских ученых необходимо отметить таких исследователей, оставивших заметный след в развитии многих направлений механики, как

К. Э. Циолковский, А. Н. Крылов, Н. Е. Жуковский и многие, многие другие.

В дальнейшем при изложении материала ссылки на авторов тех или иных результатов не приводятся.

1.1 Статика твердого тела Основные понятия и аксиомы статики

Статика – раздел механики, представляющий собой учение о силах и условиях равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Равновесие – состояние покоя тела по отношению к другим телам.

В курсе теоретической механики рассматривается равновесие материальных точек и абсолютно твердых тел (АТТ).

Все тела при действии нагрузок деформируются, т.е. меняют форму и/или размеры. Тело, подвергающееся воздействию, изменяет свое движение или форму и размеры не мгновенно, а с течением времени. Это свойство называется инертностью.

Для обеспечения прочности подавляющего большинства изделий из распространенных материалов необходимо, чтобы деформации были малыми. Если мерой деформации считать относительное изменение размеров изделия, то оно не должно превышать доли процента, редко – для материалов типа полимеров – единицы процентов, и только уж совсем необычные в этом отношении материалы типа каучука и резины, а также некоторые полимеры без разрушения выдерживают деформации, измеряемые десятками и сотнями процентов. При изучении условий равновесия «обычных» тел принимается, что допустимо пренебрегать изменением формы и размеров по сравнению с исходными их значениями и считать тело абсолютно твердым.

Силой называется мера механического взаимодействия твердых тел. В механике постулируется принцип независимости действия сил: сила, обусловленная каким-либо источником, не зависит от наличия сил, обусловленных другими источниками.

Величина силы определяется на основе некоторых эталонов. Поскольку при действии силы (механического взаимодействия) меняются либо размер и форма тела (возникают деформации), либо закон его

12

движения, все распространенные измерители сил связаны с использованием этих факторов. Известны разного рода упругие силоизмерительные устройства. Простейшим примером являются пружинные весы, служащие для определения веса тел, т.е. сил тяжести, действующих на эти тела. Реже используются устройства, основанные на свойствах инерции.

Сила как вектор характеризуется:

1.Величиной.

2.Направлением.

3.Точкой приложения.

Единицей измерения силы в системе СИ является 1 ньютон (Н); 1 Н – это сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2, а записывается это как соотношение Н = кг·м/с2.

Графически сила изображается, как и любой вектор, в виде направленного отрезка.

В тех случаях, когда величина силы и ее направление зависят только от положения точки, говорят, что существует силовое поле. Примерами силовых полей могут служить поле сил тяжести, силы упругости, силы электрического или магнитного взаимодействия и т. д.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Направление вектора в ту или другую сторону в этом случае роли не играет. Попутно можно отметить, что ось, в отличие от прямой, имеет направление, начало отсчета и масштаб, поэтому величина (знак) проекции вектора на ось зависит от направления вектора.

Система сил – совокупность сил, приложенных к телу (или к телам). Если линии действия всех сил расположены в одной плоскости, система сил называется плоской, иначе – пространственной. Если линии действия сил пересекаются в одной точке, то силы являются сходящимися. Если линии действия сил параллельны, то и силы называются параллельными.

Если тело из данного положения можно свободно перемещать, оно называется свободным.

Если при замене одной системы сил на другую тело не меняет своего равновесия (или движения), эти системы сил эквивалентны.

Система сил, под действием которой тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю.

Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется

равнодействующей.

13

Силы внешние, если они действуют на данное тело со стороны других тел; внутренние – если отражают взаимодействие частей тела (или тел данной системы).

Сила, приложенная к телу в данной точке, – сосредоточенная. Силы, приложенные к части или всей поверхности или объему, –

распределенные.

Классификация сил

По способу приложения можно различать силы равномерные или неравномерные поверхностные, действующие на поверхность тела или ее часть, и объемные, приложенные к каждой точке тела (например, силы тяжести или силы инерции). При этом различают силы локальные, т.е.

приложенные к части поверхности или объема. Распределенные силы приложены ко всей поверхности или объему. Сосредоточенные силы приложены в точке поверхности или объема, и т. д.

По характеру изменения во времени силы бывают постоянными и переменными; последние могут быть, в частности, периодическими.

Силы можно классифицировать по источнику механического действия, например, это силы тяготения или силы тяжести, реакции опор, упругие воздействия от пружин, рессор ит. д., электрические и магнитные поля, напор потока жидкости или газа.

Аксиомы статики

1.Если на свободное АТТ действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только тогда, когда эти силы равны по величине

инаправлены вдоль одной прямой в разные стороны.

2.Действие данной системы сил на АТТ не изменится, если к ней добавить или отнять уравновешенную систему сил.

Это означает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие. Действие силы на АТТ не изменится при перенесении точки приложения силы вдоль линии действия.

Для доказательства приложим, кроме силыF , еще F1 =F и F2 = −F (рисунок 1.1).

14

F

F1

F2

Рисунок 1.1 – К доказательству следствия из второй аксиомы статики

ОтбросивF + F2 = 0 , получим силуF1 , эквивалентнуюF . В данном

случае вектор F является и называется скользящим, т.е. таким вектором, который можно передвигать вдоль линии действия.

Рисунок 1.2 – Возможные варианты приложения уравновешенной системы двух сил

Этот результат справедлив только для АТТ. Если тело деформируемо, то его напряженное и деформированное состояния существенно зависят от точки приложения силы. Так, для трех случаев, показанных на рисунке 1.2, в первом случае стержень растянут, во втором – не напряжен, в третьем – сжат.

Это значит, что при определении внутренних напряжений в теле точку приложения силы вдоль линии ее действия переносить нельзя!

Суммирование сил

Если в одной точке тела приложены две разнонаправленные силы, то они суммируются по правилу параллелограмма (как векторы). В механике это формулируется в виде общего закона, который носит название закона параллелограмма сил:

Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

15

F1

Рисунок 1.3 – Суммирование сил по правилу параллелограмма

Закон параллелограмма сил можно сформулировать еще так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.

Сумма сил и равнодействующая сила – разные понятия. Сумма сил строится как сумма любых векторных величин и существует всегда, в

отличие от равнодействующей.

Закон равенства действия и противодействия: при всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

Этот закон является одним из основных в механике (третий закон Ньютона). Из него следует, что взаимодействие тел А и В характеризуется двумя силами, равными по величине, действующими вдоль одной прямой в противоположных направлениях (рисунок 1.4).

A

F2

F1

B

Рисунок 1.4 – К закону равенства действия и противодействия

Т.к. мы рассматриваем АТТ, то любые его две части действуют друг на друга одинаково по величине и в противоположных направлениях, и соответствующие силы образуют самоуравновешенную систему. Поэтому в дальнейшем при исследовании АТТ ведем речь только о внешних силах.

16

Связь – это то, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве.

Связью называем тело, которое реализует это ограничение (нить, трос, рельс, шарнир, подвижная или неподвижная опора, поверхность и т.д.).

Реакция связи – это сила, с которой связь действует на тело.

Направление реакции связи всегда противоположно направлению, куда связь не дает перемещаться телу.

Если сама связь препятствует перемещениям тела в нескольких направлениях, то направление реакции становится неизвестным, и оно должно определяться в процессе решения задачи.

Примеры связей:

•гладкая поверхность (без трения); реакция такой связи всегда направлена по нормали к поверхности;

•нить; реакция этой связи направлена вдоль нити к точке подвеса;

•цилиндрический шарнир, реакция такой связи может быть ориентирована в любом направлении в плоскости, перпендикулярной оси шарнира;

•сферический шарнир, реакция его может быть направлена в любом направлении в пространстве.

При решении задач рисуется схема, на которой наряду с заданными внешними (активными) силами изображаются и реакции связей. В тех случаях, когда направление этой реакции (а реакция связи по определению – сила) известно, как в примере с нитью, она изображается в виде вектора, направление которого задано. Если же направление реакции сразу не может быть определено, как правило, изображаются составляющие этой реакции вдоль осей координат, и эти составляющие в дальнейшем отыскиваются. Если в задаче нужно определить полную реакцию, то ее величина и направление определяются так же, как для любого вектора, по его составляющим. При решении конкретной задачи может получиться, что те или иные составляющие получились отрицательными. Это означает, что на самом деле соответствующая составляющая реакции действует в другую сторону, противоположную выбранной и изображенной на схеме. Не следует переделывать чертеж и заново строить решение задачи – по исходной схеме понятно, как выбраны направления составляющих, и знаки в ответе ясно показывают, как реально они направлены.

17