X

Рисунок 2.4 – К определению ускорения

Мгновенное ускорение

[a] = L/T2 = м/с2 и т.д.

При прямолинейном движении ускорение ориентировано вдоль траектории.

Если траектория – плоская кривая, то вектор ускорения лежит в плоскости кривой и направлен в сторону вогнутости.

Если траектория – пространственная кривая, то вектор ускорения направлен в сторону вогнутости кривой и находится в плоскости, проходящей через точку М (исходную) и прямую, параллельную

касательной в точке М1 (текущей). В пределе при ∆t → 0 эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. В этой плоскости происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при малом перемещении точки.

2.1.4 Определение скорости и ускорения при координатном задании движения

Используется следующая теорема: проекция производной от

вектора на неподвижную ось равна производной от проекции вектора на ту же ось, т.е. если

q = ddtp , то

48

Здесь и далее точка над переменной означает производную по времени от этой переменной, являющейся функцией времени. Соответственно две точки – вторую производную, и т.д.

Итак, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.

По проекциям скорости точки определяются ее величина и направление:

Здесь α, β, γ – так называемые направляющие углы, составляемые вектором скорости с осями X, Y, Z соответственно.

По аналогии для ускорения справедливо:

или проекции ускорения на оси системы координат равны первым производным по времени от проекций скоростей или вторым производным по времени от координат точки.

В случае движения точки в плоскости упрощения очевидны: исчезают проекции скорости и ускорения на ось z.

Для прямолинейного движения (одномерный случай):

2.1.5 Примеры решения задач кинематики точки

Пример 1.

49

Пусть заданы уравнения движения точки в плоскости координатным способом:

Найти траекторию, скорость и ускорение точки. Из (2.18) следует:

3x – 4y = 0, или y = (3/4) x –

это уравнение описывает форму траектории, в данном случае прямую линию, проходящую через точки А(0, 0) и В(4, 3) (рисунок 2.5).

Y

B

X

A

Рисунок 2.5 – Траектория движения

Составляющие скорости

vx = 8–8t, vy = 6–6t.

Тогда величина скорости

v = vx2 + vy2 = 82 + 62 1−t =10 1−t .

Ускорение

ах = –8, ау = –6, а = 10 (м/с2).

Вектор а направлен вдоль траектории (прямой) АВ (рисунок 2.5), причем в начальный момент времени точка находится в начале координат (при t = 0 координаты точки x = y = 0). Так как проекции этого вектора отрицательны (они постоянны и не меняются во все время движения), точка движется с ускорением, направленным от точки В к точке А. При

t = 0: v = 10; t = 1: v = 0; t > 1 : vx < 0, vy < 0 ,

т.е. и скорость после этого момента направлена от В к А. Итак, движение точки начинается в момент времени t = 0 из точки 0 к точке В, в начальный момент времени (t = 0) и далее вплоть до момента t = 1 обе компоненты скорости положительны. Координаты точки в момент остановки будутxB = 4, yB = 3. После этого при t > 1 компоненты скорости становятся отрицательными, т.е. движение идет уже в обратную сторону. При t = 2 точка проходит снова через точку 0 и затем с нарастающей скоростью продолжает движение в ту же сторону вдоль прямой ВА.

Пример 2.

50

Пусть заданы уравнения пространственного движения точки: x = Rsin ωt, y = Rcosωt, z =ut,

где R, u, ω – постоянные величины. Поскольку

х2 + у2 = R2 ,

то траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R. С течением времени точка перемещается по поверхности этого цилиндра, одновременно продвигаясь вдоль оси z, так что в итоге получается так называемая винтовая линия. Один виток точка проходит за время t1, определяемое из равенства

Рисунок 2.6 – К задаче о винтовом движении

За это время вдоль оси цилиндра точка смещается на величину h = u 2π/ω;

эта величина называется шагом винтовой линии. Проекции вектора скорости

vx = Rωcosωt, vy = −Rωsin ωt, vz = u,

а скорость

v = R2ω2 +u2 = const .

Ненулевые проекции ускорения непостоянны:

ax = −Rω2 sin ωt, ay = −Rω2 cosωt, az = 0.

Ускорение

a = ax2 + ay2 = Rω2 = const .

51