стремится вернуть груз в положение равновесия. Что касается других составляющих силы, то
Fy = Fz = 0.
Работа сил упругости на перемещении из положения будет
x1 c
A = ∫(−cx)dx = (x2 − x2 ).
x0 2 0 1
Работа будет положительной, если точка М движется к положению равновесия, т.е. когда х0 > x1.
Силы упругости тоже относятся к классу потенциальных.
3. Работа сил трения
Сила трения
M1
Fx = – f N,Fy = Fz = 0; A = − ∫ f N ds.
M0
Работа сил трения всегда отрицательна, и чем длиннее путь, тем эта работа больше. Таким образом, силы трения не потенциальны.
3.3.7 Теорема об изменении кинетической энергии точки
Кинетической энергией точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Размерность кинетической энергии такая же, как у работы. Поэтому рассмотрим связь кинетической энергии с работой. Для этого рассмотрим уравнение движения в проекции на касательную
maτ = Fτ ∑Fkτ ); |
aτ = dv |
= dv |
ds |
= v dv |
; mv dv |
= Fτ ; |
|
dt |
ds |
dt |
ds |
ds |
(3.26) |
d(mv2 2 ) = ∑ Fkτ ds = ∑ dAk .
В (3.26) справа – элементарная работа сил F на пути ds. (3.26) представляет собой запись теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме.
Проинтегрировав (3.26) в соответствующих пределах, получим
mv2 |
− |
mv2 |
= ∑A(M0M1) |
(3.27) |
1 |
0 |
|||
2 |
|
2 |
|
|
т. е. изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех приложенных к точке сил на том же перемещении.
114
Рассмотрим пример такого рода: материальная точка движется вдоль горизонтальной прямой влево со скоростью v0, и под действием силы, направленной вправо, приобретает скорость v1 вправо. Найти работу этой силы.
В зависимости от соотношения между величинами v0 и v1 по формуле (3.27) может получиться отрицательная (v1 < v0), положительная (v1 > v0) или нулевая (v1 = v0) работа. Это становится вполне понятным, если учесть определение работы – работа положительна, когда направление приложенной силы совпадает с направлением перемещения, и отрицательна при несовпадении.
Среди сил могут быть и реакции связей, но при движении, например, вдоль гладкой кривой или поверхности их реакция N направлена перпендикулярно касательной к траектории движения и Nτ = 0. Таким
образом, при движении вдоль гладкой кривой или поверхности изменение энергии определяется работой так называемых активных сил.
Если же поверхность не гладкая, нужно учитывать работу сил трения.
Если сама кривая или поверхность движутся (переносное движение), то абсолютное перемещение точки может быть неперпендикулярным направлению реакции, и тогда работа реакции может быть не равной нулю.
Пример 1.
Груз массой 2 кг брошен из точки А с высотыh = 5 м со скоростью v0 = 20 м/с, а в точке падения С имеет скорость v1 = 16 м/с (рисунок 3.12). Найти работу сил сопротивления воздуха.
A
h
v0 
R
P
C
Рисунок 3.12 – К задаче о падении груза
Кинетическая энергия меняется за счет работы сил тяжести P и работы A(R) силы сопротивления воздуха R .
115
mv2 |
|
mv2 |
|
|
|
|
|
− |
= mgh + A(R), |
и |
|||||
1 |
0 |
||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
A = mv212 − mv202 − mgh ≈ −242,4 ( Дж).
Пример 2.
Груз весом Р подвешен на нити длиной l. Его отклоняют на угол ϕ0 и отпускают без начальной скорости (рисунок 3.13). Найти скорость груза в положении ϕ, если сила сопротивления воздуха постоянна и равна R.
O |
|
0 |
|
N |
M0 |
h |
R* |
|
|
|
M |
|
P |
Рисунок 3.13 – Движение груза, подвешенного на нити
Сила натяжения нити N направления перпендикулярно направлению движения груза τ, и не совершает работы. Сила сопротивления R направлена против движения, и вклад ее работы в изменение кинетической энергии принимаем со знаком минус. В итоге из уравнения дли изменения кинетической энергии получим выражение скорости
P |
v2 |
= Ph − R l (φ −φ); |
|
||
|
2g |
0 |
|
|
v = 
2gh − 2gl(φ0 −φ) R / P.
При R = 0 это известная формула Галилея.
Пример 3.
Под грузом весом Р упругая балка получает статический прогиб аst. Чему равен динамический прогиб балки аdin при падении того же груза с высотыh (рисунок 3.14)?
116