Элементарным импульсом силы называется векторная величина
dS , равная произведению силы F на элементарный промежуток времени dt:
dS = Fdt .
Направлен импульс силы вдоль линии действия силы.
Импульс силы за конечный промежуток времени dt1 определяется интегралом
t1
S = ∫F dt.
0
Если сила постоянна по модулю и направлению, то S = Ft1. Размерность импульса силы такая же, как у количества движения:
кг·м/с = Н·с
3.3.2 Теорема об изменении количества движения точки
Для точки с постоянной массой основной закон динамики можно представить в виде
d |
|
|
|
|
|
(mv ) = ∑Fk |
(3.15) |
||||
dt |
|||||
|
|
|
|
||
производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил.
Пусть точка в момент времени t = 0 имеет скорость v0, а в момент t1 – скорость v1. Умножим обе части равенства (3.15) на dt и проинтегрируем в пределах v0, v1 и 0, t1. Тогда
t |
|
|
|
|
|
|
mv1 − mv0 = ∑∫1 |
|
|
|
|
|
|
Fk dt = ∑Sk . |
(3.16) |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
Это означает, что изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени.
Соотношение (3.16) можно переписать в проекциях на оси координат:
mv1x − mv0x = ∑Skx , mv1y − mv0 y = ∑Sky , mv1z − mv0z = ∑Skz . |
(3.17) |
Соотношения (3.16) и (3.17) позволяют решать следующие задачи:
1)оценивать импульс сил по изменению скорости;
2)по импульсу сил определять изменение скорости.
107
Пример 1.
Телу массой m, лежащему на горизонтальной шероховатой поверхности, сообщена горизонтальная скорость v0 (рисунок 3.5). Если сила сопротивления (трения скольжения) постоянна, то через какое время t1 тело остановится?
Применяя первое из уравнений (3.17), получим m(v0–0) = F·t1 (Т.к. F=const);
откуда t1 = mv0/F.
N
vO
O |
F |
M |
X |
|
|
P |
|
Рисунок 3.5 – К задаче о движении тела по шероховатой поверхности
3.3.3 Теорема об изменении момента количества движенияточки (теорема моментов)
В качестве динамической характеристики движения точки часто выступает не вектор количества движения mv, а его момент относительно некоторого центра или оси.
Моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина mO = mO(mv), определяемая равенством
m |
O = r ×mv, |
(3.18) |
где r – радиус-вектор точки относительно точки О (рисунок 3.6).
|
Z |
|
mv |
|
|
|
F |
|
M |
m |
(mv) |
r |
|
|
O |
|
|
90O |
|
mO (F) |
|
|
h |
|
|
O |
|
|
Y |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
108
Рисунок 3.6 – К определению момента количества движения
Направление и величина mO определяются правилами векторного произведения:
mO = mvh,
где h − кратчайшее расстояние от точки О до линии вектора скорости (или mv).
Момент количества движения точки относительно оси Oz
равен проекции вектора mO на эту ось:
mz = mz (mv) =[mO ]z = mO cosγ,
где γ − угол между осьюz и вектором mO. Дифференцируя (3.18) по времени, получим:
dm |
dr |
|
|
dv |
= (v ×mv ) + (r ×ma). |
|
O = |
dt |
×mv |
+ r ×m |
|
||
dt |
|
|
|
dt |
|
|
Первое слагаемое равно нулю по правилу векторного произведения, так как производная от радиуса вектора по определению есть скорость, следовательно, в первой скобке векторное произведение однонаправленных векторов равно нулю. Во втором величина ma = F (в
случае действия нескольких сил F = ∑Fk – сумма сил). Но произведение (r × F) представляет собой момент силы относительно точки О, т.е.
mO (F).
Таким образом, доказана теорема моментов относительно центра:
d |
[ |
|
O (mv )]= |
|
|
|
|
|
|
m |
m |
O (F |
), |
(3.19) |
|||||
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Или производная по времени от момента количества движения точки относительно некоторого центра равна моменту приложенной силы относительно того же центра.
По существу, связь между mv, F и их моментами относительно центра совершенно идентична.
Если теперь спроектируем (3.19) на ось Oz, получим теорему моментов относительно оси:
d |
|
|
|
|
|
[mz (mv )]= mz (F |
). |
(3.20) |
|||
dt |
|||||
|
|
|
|
||
Из (3.19) следует, что если момент силы относительно центра равен нулю, то и момент количества движения точки – величина постоянная.
109
3.3.4 Движение под действием центральной силы. Закон площадей
Сила называется центральной, если линия действия ее всегда проходит через заданный центр.
Примеры таких сил: сила притяжения планет к Солнцу; сила натяжения подвески вращающегося груза и т.д. Для таких сил всегда
mO (F) ≡ 0.
Но тогда
r ×mv = const, r ×v = const.
Последний вектор (постоянство векторной величины означает, что ни длина, ни направление этого вектора не меняются) перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы r и v. Но это значит, что эти векторы всегда лежат в одной плоскости, а траектория точки – плоская кривая. Кроме того, vh = const.
vh = h·ds/dt,
но
h·ds = 2dT –
удвоенная площадь элементарного треугольника М1ОМ (рисунок 3.7).
Рисунок 3.7 – К определению секторной скорости
Величина dT/dt – скорость изменения площади, обметаемой радиусом-вектором ОМ при движении М, называемая секторной скоростью точки. В рассматриваемом случае именно это скорость постоянна.
Итак, при движении под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. при этом радиус-вектор точки в любые равные промежутки времени описывает равные площади (закон площадей).
110