1. Если подвижные оси движутся поступательно, то в (3.30) исчезает справа последнее слагаемое (отсутствует кориолисово ускорение), и закон относительного движения принимает вид

ma = ∑Fk + Fein.

2. Если подвижные оси движутся поступательно, равномерно и прямолинейно, то в (3.30) справа останется лишь первое слагаемое, т.е. закон движения будет иметь точно такой же вид, как и в неподвижной системе координат. Следовательно, такая система отсчета будет инерциальной.

Отсюда вытекает следствие: никаким механическим

экспериментом нельзя обнаружить, находится данная система отсчета

впокое или в состоянии равномерного прямолинейного движения.

Вэтом заключается так называемый принцип относительности

классической механики, открытый еще Галилеем.

3. Если точка неподвижна относительно подвижных осей, то Fkorin = 0

, относительное ускорение точки тоже равно нулю. Тогда (3.30) принимает вид

∑Fk + Fein = 0.

Полученное уравнение представляет собой уравнение относительного равновесия (покоя) точки. Из него следует, что уравнения относительного равновесия составляются точно так же, как уравнения в неподвижных осях, если при этом к действующим на точку силам добавить переносную силу инерции.

3.5Прямолинейные колебания точки

3.5.1Свободные колебания без учета сил сопротивления

Колебания можно классифицировать по физическим признакам: механические, акустические, радиотехнические и т.д. Далее рассматриваются механические колебания, но многие законы, справедливые для них, справедливы и для других. Преимущество изучения механическихколебаний заключается в их наглядности.

Рассмотрим движение точки вдоль прямой при действии силы, которая всегда направлена к некоторому центру (точке) О и пропорциональна расстоянию от этого центра, проекция которой на ось Ох (рисунок 3.19): Fх = – cx.

123

O F M X x

Рисунок 3.19 – К задаче о движении точки под действием восстанавливающей силы

Такая сила иногда называется восстанавливающей. Примеры таких сил – силы упругости, сила тяжести.

Дифференциальное уравнение движения точки массы m в проекции на ось Ох прямой будет иметь вид

где k2 = c / m.

Это дифференциальное уравнение описывает свободные колебания точки при отсутствии сил сопротивления.

Общее решение этого уравнения имеет вид

В этих соотношениях С1, С2 (А, k) – постоянные интегрирования. Не следует понимать, что уравнение колебаний имеет два различных решения. Речь идет именно о форме представления решения, и всегда возможны преобразования этих форм решения из одной в другую.

Последняя форма представления решения удобнее для общих исследований, и иногда называется канонической (образцовой). При ее использовании сразу очевидны такие параметры движения, как амплитуда А, круговая частота k, начальная фаза колебаний α.

Скорость точки

Колебания, совершаемые точкой по закону (3.32), называются гармоническими. А – амплитуда колебаний, ϕ = kt+α – фаза колебаний,

причем фазы, отличающиеся на 2 π, считаются одинаковыми. Фаза, в отличие от координаты х, определяет не только положение точки, но и направление ее дальнейшего движения.

Величина α определяет начальную фазу колебаний.

Величина k называется круговой частотой колебаний; она определяет, сколько полных колебаний происходит за 2π секунд.

124

Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает полное колебание, называется периодом. По определениюkT = 2π, откуда Т = 2π/k.

Величина ν, обратная периоду, называется частотой; она определяет число колебаний, совершаемых в одну секунду:

ν = 1/Т = k/2π.

Таким образом, обычная и круговая частоты отличаются друг от друга множителем 2π. Для обычной частоты используется размерность Герц (Гц), например, переменный ток в бытовых сетях характеризуется частотой 50 Гц.

Для определения постоянных интегрирования можно использовать начальные условия.

Так, при t = 0: x = x0, v = v0.

Тогда из (3.32) и (3.33) получаем

x0 = A sinα, v0/k = A cosα,

и

Свойства свободных колебаний

1.Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий (или краевых условий).

2.Частота и период колебаний от начальных (краевых) условий не

зависят.

Колебания, рассмотренные выше, называются линейными.

Если к точке приложить постоянную по модулю и направлению силу, то характер колебаний не изменится, только центр колебаний смещается в сторону действия силы на величину соответствующего статического отклонения точки.

3.5.2 Свободные колебания при вязком сопротивлении

Если помимо восстанавливающей силы к телу приложена сила вязкого сопротивления

Здесь c / m = k2 ,µ / m = 2b.

125

Это уравнение свободных колебаний точки при наличии силы вязкого сопротивления, пропорциональной скорости. Ищем его решение в виде x = ent. Подставляя это решение в (3.35), получим характеристическое уравнение

n2 + 2bn + k2 = 0,

Постоянные в этих выражениях, например, в последнем соотношении А и α, определяются по начальным условиям.

Решение (3.37) описывает так называемые затухающие колебания.

Величина Т1 = =2π/k1 – период затухающих колебаний. Ее можно представить в виде

В этом выражении Т – период свободных колебаний без учета вязкого сопротивления. Отсюда видно, что при наличии вязкого сопротивления период колебаний немного возрастает. При малом сопротивлении этим изменением можно пренебречь и считать, что период не меняется, т.е. Т1 ≈ Т. Если первое максимальное отклонение вправо х1 происходит в момент t1, то второе – в момент (t1+T1) и т.д. Тогда по (3.37 ) с учетом k1T1 = 2π получим

x1 = Ae−bt1 sin(k1t1 +α),

x2 = Ae−b(t1+T1 ) sin(k1t1 + k1T1 +α) = x1e−bT1 .

Этот результат (рисунок 3.20) в более общем случае можно представить в виде

xn+1 = xne−bT1 .

Это означает, что размах колебаний убывает по геометрической прогрессии со знаменателем exp(–bT1), который называется декрементом колебаний, а модуль его логарифма– величина bT1 – называется

126

логарифмическим декрементом. Чем больше логарифмический декремент, тем быстрее идет затухание колебаний.

2. Пусть b > k , т.е. сопротивление велико по сравнению с восстанавливающей силой. Обозначим величину b2 – k2 = r2, тогда корни характеристического уравнения будут n1,2 = – b ± r – они оба действительны и отрицательны (т.к. r < b). Следовательно, решение уравнения (3.35) в этом случае имеет вид

x =C1e−(b+r)t +C2e−(b−r)t .

Рисунок 3.20 – Затухающие колебания

Движение точки будет уже не колебательным. Аналогичный вывод справедлив и для случая b = k. Графики движения – зависимости х от времени – приведены на рисунке 3.21. Кривая 1 соответствует случаю, когда из начального положения систему подталкивают в сторону, противоположную положению равновесия. Кривая 3– подталкивание в сторону равновесия. Наконец, кривая 2 отвечает нулевой начальной скорости.

Рисунок 3.21 – Апериодическое движение при большом вязком сопротивлении

127