2.3.4 Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Теорема

Проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Скорость точки В вычисляется, если точку А принять в качестве полюса:

vB = vA + vBA.

Проектируя это равенство на ось, направленную вдоль АВ, и учитываем при этом, что vBA АВ (рисунок. 2.18),тогда

vBA vA

A B

Рисунок 2.18 – К теореме о скоростях двух точек тела

Пример 1.

Найти зависимость между скоростями точек эллипсографа. Поскольку направления движения точек А и В известны,

проектируем векторы скоростей vA , vB на АВ. По теореме:

vAcosϕ = vBcos(90o− ϕ); vA = vB tgϕ.

2.3.5 Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Центроиды

Мгновенным центром скоростей (МЦС) плоской фигуры называется точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

При непоступательном движении тела такая точка существует всегда. Пусть две точки тела А и В имеют непараллельные скорости

(рисунок 2.19).

Тогда мгновенным центром скоростей будет точка Р, поскольку vP = 0. Точка Р лежит на пересечении перпендикуляров к направлениям

72

скоростей точек А и В, проведенных через эти точки. Если вектор v P≠0, то он был бы одновременно перпендикулярен АР и ВР, но эти отрезки не могут быть параллельными между собой, поскольку они перпендикулярны непараллельным по условию векторам.

A

B

P

ω

Рисунок 2.19 – Определение мгновенного центра скоростей

Никакая другая точка в это время не может иметь скорость, равную нулю − это следует из теоремы о проекциях скоростей.

Найдем с помощью МЦС скорость точки А, принимая за полюс точку Р:

vA = vP + vAP = vAP , и vAP =ω AP = vA .

Аналогично скорость точки В:

vB = vP + vBP = vBP , и vBP =ω BP = vB ,

т.е. скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

Выводы:

1. Для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей двух точек тела (плоской фигуры); мгновенный центр находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из этих точек к направлениям их скоростей (или к касательным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать скорость (модуль и направление) какой-либо точки А и направление скорости другой точки В.

Мгновенный центр скоростей определяется, как это уже показано выше; по расстоянию АР определяется угловая скорость ω. Для любой

точки М скорость ее определяется как ω·РМ.

3. Угловая скорость плоской фигуры в каждый момент времени равна отношению скорости какой-либо точки А к расстоянию АР до мгновенного центра скоростей Р:

ω = vA / AP.

73

Для угловой скорости ω можно найти и другое выражение. Так, скорость точки В относительноА определяется как:

vBA= vB − vA , и vBA = ω·BA,

отсюда

Если vA = 0 (т.е. точка А − мгновенный центр скоростей), то получаем тот же результат, что и выше.

Частные случаи:

1.Качение тела без скольжения по неподвижно поверхности другого тела (например, колеса по неподвижному рельсу). В точке касания находится мгновенный центр скоростей.

2.Если скорости точек А и В параллельны, а векторvA не

перпендикулярен АВ, то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, а скорости всех точек параллельны vA (рисунок 2.20, а). В

этом случае говорят о мгновенном поступательном движении тела и поступательном распределении скоростей (угловая скорость в этот момент равна нулю).

3. Если скорости двух точек параллельны vA vB , а АВ vA , то

мгновенный центр скоростей строится в соответствии с рисунком 2.20, б. В этом случае нужно знать не только направления, но и величины

скоростей vA и vB .

4. Если для точки А известен вектор скорости vA и угловая скорость ω, то положение мгновенного центра Р определяется по выражению:

ВР = ωА/ω.

В общем случае со временем положение мгновенного центра скоростей Р меняется.

Рисунок 2.20 – Определение мгновенного центра скоростей

74

Центроиды

Как показано выше, плоское движение тела в каждый конкретный момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенного центра скоростей (или мгновенного центра вращения). Этот центр, или точка на плоскости, в общем случае все время меняет свое положение. Например, качение колеса по рельсу можно представить как поступательное перемещение оси (полюса) и вращение вокруг оси, или же как серию вращений вокруг последовательно меняющих свое положения точек касания колеса с рельсом.

Мгновенный центр вращения меняет свое положение как на неподвижной (отсчетной) плоскости, так и на подвижной плоскости, связанной с движущимся телом. Геометрическое место мгновенных центров вращения, т.е. их положений, на неподвижной плоскости называется неподвижной центроидой. Соответственно геометрическое место этих центров на подвижной плоскости называется подвижной центроидой. В примере с колесом и рельсом неподвижная центроида– это прямая линия, обозначающая поверхность рельса, а подвижная центроида – окружность колеса. В каждый момент времени обе центроиды касаются друг друга, имея единственную общую точку. Пересекаться центроиды не могут – иначе это означало бы, что в данный момент времени существует два центра вращения, что невозможно.

Таким образом, при плоском движении тела происходит качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной, поскольку положение мгновенного центра вращений меняется непрерывно. Предположим, что мы обе центроиды осуществили в наглядном материальном виде, тогда плоское движение тела можно получить, скрепив подвижную центроиду с телом и катя эту центроиду без скольжения по неподвижной.

Пример 1.

Найти скорость точки М обода колеса с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС).

Точка касания и есть МЦС. Вектор скорости точки М проходит через точку D, т.к. vM MP, а вписанный прямой угол должен опираться на

диаметр DP.

Из пропорции

PMvM = vRC

с учетом того, чтоРМ = 2R cosα, следует: vM = 2vC cosα.

75