параметрическом виде. Если исключим t, получим более привычную форму:
у = у (х).
Пример. АВ = d, АМ = b (рисунок 2.16).
|
Y |
|
|
|
vB |
M |
|
|
|
||
|
B |
y |
|
|
|
||
A |
0 |
X |
|
|
|||
vA |
x |
||
|
|||
Рисунок 2.16 – Схема эллипсографа |
|||
Если положение линейки определяется углом ϕ при перемещении А и В вдоль осей, то для точки М определяются ее координаты из соотношений:
x = (b − d) cosϕ, y = b sinϕ.
Исключая отсюда ϕ, получим:
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|
(b − d)2 |
b2 |
|||
|
|
Это уравнение эллипса с полуосями b − d и b и с центром в точке О. Таким образом, меняя d и b, можно с помощью этого прибора строить эллипсы с различными полуосями. Прибор называется
эллипсографом.
2.3.3 Скорости точек плоской фигуры
Положение точки М определяется радиус-вектором:
rM = rA + rAM .
Тогда скорость
vM = ddtrM = ddtrA + drdtAM .
Справа первое слагаемое − это скорость полюсаvA , второе, в силу
того, что АМ=const, есть скорость точки М за счет вращения вокруг полюса
А:
70
vMA =ω MA,
причем vMA MA; ω −угловая скорость плоской фигуры.
Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры геометрически складывается из скорости полюса и скорости за счет вращения этой точки вокруг полюса.
Пример 1.
Определить скорость точки М на ободе колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если известна скорость оси колеса vC (рисунок 2.17).
D |
|
M |
VC |
β |
α |
|
α |
C |
VM |
VC |
VMC |
|
|
α |
|
Рисунок 2.17 – Определение скорости точки на ободе колеса
Скорость произвольной точки М, как отмечалось выше, складывается из скорости полюса и скорости точки в ее движении вокруг полюса. В качестве полюса в данном случае логично взять точку С, закон движения которой по условию известен. Тогда
vM = vC + vMC; vMC = vKC = ω R = vC/R R = vC.
Величина угловой скорости ω определена из следующих соображений. Поскольку точка касания колеса с рельсом неподвижна, то, приняв ее за полюс, движение точки С можно рассматривать как вращение ее вокруг точки касания. Но линейная скорость точки С известна, расстояние от точки С до точки касания равно радиусу R, поэтому ω=vС/R. А ранее отмечалось, что закон вращения не зависит от выбора полюса.
Угол внутри ромба 2α = β (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). С другой стороны, при точке К угол тоже равен α = β/2 − он вписан в окружность и опирается на ту же дугу, что и β.
В связи с этим vM = 2vC cosα.
71