19.4. Стійкість замкненої системи з запізненням

З передатної функції системи з запізненням

                                    (1)

одержуємо характеристичне рівняння системи у вигляді:

.                                             (2)

Як бачимо, характеристичне рівняння трансцендентне, а не алгебраїчне. Тому алгебраїчні критерії Гурвіца і Рауса тут не придатні, але критерії Михайлова і Найквіста можна застосувати і для системи з запізненням. Оскільки відомо, що збільшення запізнення τ зменшує запас стійкості, визначимо критичне запізнення τ_к, скориставшись критерієм Найквіста. Критичним вважатимемо таке запізнення τ_к, яке виводить систему на границю стійкості. При  τ = τ_к частотна ПФ W(jω) у відповідності з критерієм Найквіста буде проходити при певній частоті ω_k через точку (-1,0) комплексної площини (U,jV). Така ситуація зображена на рис. 19.6.

 

Рис. 19.6. До визначення критичного запізнення з критерію Найквиста

 

Для визначення величин τ_к і ω_k складемо систему рівнянь

,                                          (3)

з якої одержуємо

.                                                        (4)

З першого рівняння системи (4) визначимо ω_k, а з другого визначимо t_k. Застосування формул (4) покажемо на конкретному прикладі. Візьмемо структурно стійку систему регулювання з ПФ

,                                                  (5)

частотні характеристики якої 

.                                    (6)

З першого рівняння в (6) знаходимо

.                                                              (7)

Підставивши ω_k з (7) і φ₀(ω) з (6) у вираз для τ_к в (4), одержимо

.                                                (8)

Характер залежності  від k як границі стійкості даної системи, розрахованої за формулою (8), показаний на рис.19.7.

 

 

Рис.19.7. Границя стійкості на площині параметрів 

 

Приведений приклад показує, що запізнення при τ>τ_k робить нестійкою навіть систему, яка при відсутності запізнення стійка при будь-яких параметрах Т і k.

Слід зазначити, що елемент запізнення в деяких випадках, наприклад, при застосуванні його в місцевому зворотному зв’язку, може поліпшувати якість перехідного процесу системи подібно до того, як це робить інерційний елемент.

Задачі

1.          Побудуйте АЧХ, ФЧХ і частотний годограф інерційної ланки з запізненням при k₁=10, Т₁=0,1.

2.          Побудуйте частотні характеристики і порівняйте запаси стійкості з амплітуди і з фази для системи з запізненням і без запізнення, якщо передатна функція її розімкненої частини

W(S) = k₁ е^-t s / [s×(T₁s+1)],  де k₁=10, T₁=0,1.

3.          Знайдіть критичне запізнення і критичну частоту для системи з передатною функцією розімкненої частини

W(S) = k₁ е^-t s / [s×(T₁s+1)], де k₁=10, T₁=0,1.

Контрольні питання

1.     Покажіть структурну схему інерційної ланки з запізненням.

2.     Покажіть графіки ПХ інерційної ланки без запізнення і з запізненням.

3.     Чому АЧХ ланцюга ланок з елементом запізнення не відрізняється від АЧХ без елемента запізнення?

4.     Запишіть вираз для ФЧХ розімкненої системи з запізненням.

5.     До якої величини наближається ФЧХ ланцюга ланок з елементом запізнення?

6.     Покажіть годограф ланцюга ланок з елементом запізнення.

7.     Покажіть на частотних характеристиках ланцюга ланок з запізненням і без нього значення запасів стійкості.

8.     Чому для аналізу стійкості системи з запізненням алгебраїчні критерії не придатні?

9.     Що називають критичним запізненням системи з запізненням?

10. Що називають критичною частотою системи з запізненням?

11. Напишіть рівняння для визначення критичної частоти з АЧХ ланцюга ланок.

12. Напишіть рівняння для визначення критичного запізнення з ФЧХ ланцюга ланок.

13. Запишіть вираз для критичного запізнення через ФЧХ і критичну частоту.